8. Свойства функции и её график

Рассмотрим окружность с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице (это так называемаятригонометрическая окружность).

Для любого действительного числа можно провести радиусON этой окружности, образующий с осью угол, радианная мера которого равна числу(положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки). (рис 7)

О. Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, задающего угол , называетсякосинусом угла и обозначается.

Т.к. каждому значению величины угла на тригонометрической окружности соответствует единственная точка, такая, что радиусON образует угол с осью, то данное определение задает функцию.

Свойства:

1. Область определения функции: .

Т.к. для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции :.

2. Множество значений функции:

Теорема.

Множеством значений функции является промежуток

Доказательство:

Действительно, абсцисса всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрической окружности, может принимать лишь значения из отрезка _.

С другой стороны, для значения абсциссы из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту абсциссу.

Следовательно, это значение будет косинусом угла, образованного положительным направлением осии радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.

3. Периодичность:

Теорема.

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Т.к. центральный угол, соответствующий полной окружности, равен , то точки, соответствующие угламизображаются на тригонометрической окружности одной и той же точкой, следовательно, косинусы этих углов равны.

Это означает, что число является периодом рассматриваемой функции.

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значение функции , равное 1. Оно достигается только при.

Значит, никакое число, меньшее , не может быть периодом. Значит, что - действительно наименьший положительный период функции

4. Чётность/нечётность

Рассмотрим точки M и N, соответствующие на тригонометрической окружности углам и. Поскольку всякая окружность симметрична себе относительно своего диаметра (диаметр тригонометрической окружности лежит на оси), а равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точкиM и N симметричны относительно оси , следовательно, их абсциссы равны. Это означает, что привыполняется равенство, т.е. функцияявляется четной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

График пересекает ось в точках с абсциссами, определяемыми уравнением, т.е., график пересекает осьв точке с ординатой, определяемой равенством, т.е., т.о.,,

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Т.к. абсциссы точек, лежащих в верхней полуплоскости, положительны, то значения косинуса положительны для углов, расположенных в первой и четвертой координатных четвертях, а значения косинуса отрицательны для углов, расположенных во второй и третьей координатных четвертях.

Т.о., при;при;

7. Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Функция не является монотонной на всей области определения, она возрастает на и убывает на.

Доказательство:

Докажем, например, убывание функции на . В силу периодичности функции, достаточно рассмотреть отрезок.

Для этого рассмотрим 2 различных значения , такие, что_.

Рассмотрим разность значений косинусов этих углов:

(см. § 23).

Заметим, что правая часть полученного равенства положительна.

Действительно, т.к. числа расположены на отрезкеи, то, поэтому; аналогично, поэтому. Тем самым доказано, что из неравенстваследует неравенство, т.е. функцияубывает на, а значит, убывает на каждом из промежутков вида.

Аналогичное доказательство возрастания функции на промежутках вида проведите самостоятельно.

8. График функции.

График функцииявляетсясинусоидой (рис. 8).