Свойства:

1. Область определения функции: .

Т.к. для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции :.

2. Множество значений функции:

Теорема.

Множеством значений функции является промежуток

Доказательство:

Действительно, ордината всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрической окружности, может принимать лишь значения из отрезка _.

С другой стороны, для значения ординаты из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту ординату.

Следовательно, это значение будет синусом угла, образованного положительным направлением осии радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.

3. Периодичность:

Наименьший положительный период функции равен

Доказательство:

Т.к. центральный угол, соответствующий полной окружности, равен , то точки, соответствующие угламизображаются на тригонометрической окружности одной и той же точкой, следовательно, синусы этих углов равны.

Это означает, что число является периодом рассматриваемой функции.

Докажем, что - наименьший положительный период.

Рассмотрим значение функции , равное 1. Оно достигается только при. Значит, никакое число, меньшее, не может быть периодом. Значит, что- действительно наименьший положительный период функции .

4. Чётность/нечётность

Рассмотрим точки M и N, соответствующие на тригонометрической окружности углам и. Поскольку всякая окружность симметрична себе относительно своего диаметра (диаметр тригонометрической окружности лежит на оси), а равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точкиM и N симметричны относительно оси , следовательно, их ординаты противоположны. Это означает, что для всехх из области определения выполняется равенство , т.е. функцияявляется нечетной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

График пересекает ось в точках с абсциссами, определяемыми уравнением, т.е., график пересекает осьв точке с ординатой, определяемой равенством, т.е.таким образом,,,

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Т.к. ординаты точек, лежащих в верхней полуплоскости, положительны, то значения синуса положительны для углов, расположенных в первой и второй координатных четвертях, и отрицательны - для углов, расположенных в третьей и четвертой координатных четвертях.

Т.о., при;при;

7. Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Функция не является монотонной на всей области определения, она возрастает на и убывает на.

Доказательство:

Докажем, например, возрастание функции на . В силу периодичности функции, достаточно рассмотреть отрезок.

Для этого рассмотрим 2 различных значения , такие, что_.

Рассмотрим разность значений синусов этих углов: .

Заметим, что правая часть полученного равенства отрицательна. Действительно, т.к. числа расположены на отрезкеи, то, поэтому; аналогично, поэтому. Тем самым доказано, что из неравенстваследует неравенство, т.е. функциявозрастает на, а значит, возрастает на каждом из промежутков вида.

Докажем убывание функции на . В силу периодичности функции, достаточно рассмотреть отрезок.

Для этого рассмотрим 2 различных значения , такие, что_.

Рассмотрим разность значений синусов этих углов:

.

Заметим, что правая часть полученного равенства положительна. Действительно, т.к. числа расположены на отрезкеи, то, поэтому; аналогично, значит. Т.о., т.е. функцияубывает на, а значит, убывает на каждом из промежутков вида.

8. Наибольшее/наименьшее значение функции.

Т.к. функция возрастает на и убывает на, то точка– точка максимума функции, а точка- точка минимума функции.

В силу периодичности функции получаем, что наибольшее значение функции, равное 1, достигается при , а наименьшее значение, равное, достигается при.

9. График функции.

О. График функции называетсясинусоидой (рис. 6)