36. Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

О.Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля.

О.Это число называетсязнаменателем геометрической прогрессии q геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия задаётся своим первым членом и знаменателем. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральномnверно равенство.

Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле ,где- член прогрессии с номеромn,- первый член иq– её знаменатель.

Возьмём произвольное натуральное n.Из определения геометрической прогрессии следует.

Эта цепочка состоит из nравенств, поэтому для любого конечногоnона может быть выписана. Следовательно, любой член геометрической прогрессии можно вычислить, зная его номер, первый член прогрессии и её знаменатель.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии с положительными членами.

Если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то все её члены, начиная со второго, являются средним геометрическим предшествующего и последующего членов.

Доказательство.

Из определения геометрической прогрессии следует, что .

Выразив из этого равенства , получим.

Так как все члены прогрессии положительны, то последнее равенство равносильно следующему .

Теорема. (формула суммы n первых членов геометрической прогрессии).

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна ,при.

Доказательство.

Сумма nпервых членов геометрической прогрессии равна

.

Домножим обе части этого равенства на знаменатель геометрической прогрессии .

Следовательно, . Вычтем полученное равенство из. Получим:.

Отсюда следует, что . Приэто равенство равносильно доказываемому. Теорема доказана.

Следствие. ,при.

Доказательство.

Выразим по формулеn-го члена геометрической прогрессии и подставим в формулу (1).

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если её знаменательq по абсолютной величине меньше единицы.

О.Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессииназывается число, к которому неограниченно приближается суммаnпервых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии при неограниченном увеличенииn.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна .

Приложение

Тригонометрическая окружность

Сборник формул

ТРИГОНОМЕТРИЯ Основные тригонометрические тождества Знаки тригонометрических функций по четвертям Тригонометрические функции отрицательного аргумента Выражение одной функции через другую Обратные функции отрицательного аргумента Решение простейших тригонометрических уравнений Функция алгебраической суммы двух аргументов Преобразование Преобразование суммы функций в произведение произведения функций в сумму Функции двойного аргумента Функции половинного аргумента Функции тройного аргумента

АЛГЕБРА Корни квадратных уравнений Теорема Виета Разложение квадратного трехчлена на множители Степени и корни Логарифмы Степень двучлена Извлечение квадратного корня из квадрата. Определение модуля числа.