Делимость на 2

Пусть

Рассмотрим десятичную запись натурального числа :

, где , таким образом,, где

Слагаемое правой части делится на 2, так как содержит множитель 2,

,

Тогда делится на 2делится на 2, то есть,

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2

Делимость на 3 на 9

Рассмотрим разность между заданным числом и суммой его цифр:

= , где

Так как и, то мы доказали чтоделится на 9.

, тогда

Пусть теперь сумма цифр числа делится на 3

т.е.

тогда

, то есть

=3q, qN

=9p + 3q = 3(3p + q) = 3i, iN т.е. делится на 3

Пусть теперь сумма цифр числа делится на 9

тогда

, то есть

Вывод:

Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Если сумма цифр натурального числа делится на 9, то и само число делится на 9

Делимость на 5

Пусть

образом, , где

Слагаемое правой части делится на 5, так как содержит множитель 5,

,

Тогда делится на 5делится на 5, то есть,

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрами 0 и 5

Делимость на 10

Пусть

образом, , где

Слагаемое правой части делится на 10, так как содержит множитель 10,

,

Тогда делится на 10делится на 10, то есть,

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0

34. Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень, его свойства. Корень и арифметический корень п-ой степени

О.Квадратным корнем из числа называется число, квадрат которого равен.

О.Арифметическим квадратным корнемиз неотрицательного числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен :

То есть

О.Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, - я степень которого равна а,

Число называется показателем корня

О.Арифметическим корнем – ой степенииз числаназывается неотрицательное число, -я степень которого равна.

Если - нечетное, то существует корень - й степени из любого числа, и притом только один.

Если - четное, то существует ровно 2 корня –ой степени из любого положительного числа.

По определению .

Замечание:Корней четной степени из отрицательных действительных чисел на множестве действительных чисел не существует.

Свойства арифметического квадратного корня

1.

Доказательство:

Пусть , тогда каждое из выраженийимеет смысл.

Покажем, что выполняются условия:

1)

2)

Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то произведениенеотрицательно.

Используя свойство степени произведения получим:

Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:

.

Равенство является тождеством, т.к. оно верно при всех допустимых значенияхи.

Данная теорема верна и в случае, когда число множителей под знаком корня больше двух.

Т.о. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.

2.

Доказательство:

Пусть , тогда каждое из выраженийимеет смысл.

Покажем, что выполняются условия:

1)

2)

Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то частноенеотрицательно.

Используя свойство степени частного получим:

Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:

.

3.

Доказательство:

Рассмотрим 2 случая:

1. если , тогда по определению арифметического квадратного корня

2. если , то , поэтому.

По определению модуля:

таким образом, .