28. Решение уравнений вида

Теорема (о корне).

Пусть функция f – возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=а имеет единственный корень в промежутке I.

Функция синус возрастает на отрезке и принимает все значения от –1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числаа, такого, что, в промежутке существует единственный кореньb уравнения

. Это число bназывают арксинусом числаа и обозначают.

О.Арксинусом числаа называется такое число из отрезка ,синус которого равен а.

Так как для любогох, то приуравнение не имеет корней.

При на отрезке уравнение имеет в точности одно решение. На промежутке функция синус убывает и принимает все значения от –1 до 1. По теореме о корне уравнениеимеет и на этом отрезке один корень. Из рис. 13 видно, что этот корень. Действительно,. Кроме того, поскольку, имееми, т.е. числох₂принадлежит отрезку .

Итак, уравнение на отрезке имеет два решения:и(совпадающие приа=1). Учитывая, что период синуса равен 2, получаем такие формулы для записи всех решений:

Удобно решения уравнения записывать не двумя, а одной формулой

.

При чётных получаем, т.е. находим все решения, записанные первой формулой. При нечётныхполучаем- все решения, записываемые второй формулой.

Решение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности (рис. 13). По определениюsin x – ордината точки единичной окружности. Если, то таких точек две; если жеили, то одна.

Если , то числаисовпадают, поэтому решение уравненияпринято записывать так:Приипринята следующая запись решений:, если,, если.

29. Решение уравнений вида

Теорема (о корне).

Пусть функция f – возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=а имеет единственный корень в промежутке I.

Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от –1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числаа, такого, что, в промежутке существует единственный кореньb уравнения. Это числоbназывают арккосинусом числаа и обозначаютarcсos a.

О.Арккосинусом числаа называется такое число из отрезка ,косинус которого равен а.

Так как для любогох, то приуравнениене имеет корней.

При на отрезке уравнениеимеет в точности одно решение.Косинус – чётная функция, и, значит, на отрезке уравнениетакже имеет в точности одно решение – число.

Итак, уравнение на отрезке длиной 2имеет два решения

(совпадающие при а=1). Учитывая, что период косинуса равен 2, получаем такую формулу для записи всех решений

.

Решение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности (рис. 14). По определению cos x – абсцисса точки единичной окружности. Если, то таких точек две; если жеили, то одна.

При числа исовпадают (они равны нулю), поэтому решения уравненияпринято записывать в виде.

Особая форма записи принята также для и:при,, при.