Диаграммы Вейна

• Объединение множеств(сумма множеств)

AB={x:xA либо xB} A B

• Пересечение множеств

AB={x:xA и xB}} A B

• Входимость одного множества в другое

С

B

A

B AB - A входит в B

AДля того, чтобы быть B, достаточно быть A.

Чтобы элемент обладал свойством B, необходимо и достаточно, чтобы он обладал свойством A.

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами. Если элемент xпринадлежит множествуA, то это обозначается:

Если каждый элемент множества является также и элементом множества, то говорят, что множествоявляетсяподмножествоммножества:

Подмножество множестваназываетсясобственным подмножеством, если

Используя понятие множества можно построить более сложные и содержательные объекты.

Операции над множествами

Основными операциями над множествами являются объединение,пересечениеиразность.

Определение 1.Объединением двух множеств называется новое множество

Определение 2.Пересечением двух множеств называется новое множество

Определение 3.Разностью двух множеств называется новое множество

Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить (Универсум), тодополнениеммножестваназывают разность

Декартово произведение множеств

Одним из способов конструирования новых объектов из уже имеющихся множеств является декартово произведение множеств.

Пусть и- множества. Выражение вида, гдеи, называетсяупорядоченной парой. Равенство видаозначает, чтои. В общем случае, можно рассматриватьупорядоченную n-куиз элементов. Упорядоченные n-ки иначе называютнаборыиликортежи.

Определение 4.Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество упорядоченных n-ок (наборов, кортежей) вида

Пример 1:

A₁ = {1,2}

A₂ = {3,4}

A₁xA₂= {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}

Пример 2.

A₁ = {1,2}

A₂ = {3,4}

A₃ = {5,6}

A₁xA₂xA₃= {(1,3,5), (1,3,6),(1,4,5), (1,4,6), (2,3,5), (2,3,6),(2,4,5), (2,4,6)}

Определение 5.Степенью декартового произведенияназывается число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Замечание. Если все множестваодинаковы, то используют обозначение

.

Функции

Определение 10. Отношениена декартовом произведении двух множествназываетсяфункциональным отношением, если оно обладает следующим свойством:

Если и, то(однозначность функции).

Обычно, функциональное отношение обозначают в виде функциональной зависимости -тогда и только тогда, когда. Функциональные отношения (подмножества декартового произведения!) называют иначеграфиком функции илиграфиком функциональной зависимости.

Предикат функционального отношения есть просто выражение функциональной зависимости .

Способы задания функций:

• Аналитическое (y(x) = 2x+3)

• Неявное (x²+y²= 0, неявно задана функцияy=f(x))

• Табличное (например, заданы диапазоны хи значениеyв каждом диапазоне)

• Графическое

Системы, представимые графами. Связность графа и его оценка

Граф – это совокупность узлов и соединящих их дуг. Узлы и дуги несут смысловую нагрузку в зависимости от предметной области и могут иметь некоторые параметры. Граф может быть ориентированным (дуги имеют направление).