Василек

16. Классич-я теория теплоемкости. Затрудн-я этой теории. Простейш-я квантовая теория теплоемкости твердого тела. Теплоемк-ть газов в свете квантовых представлений. Класс-ая теория теплоем-и основана на теореме о равновесном распределении энер по степеням свободы. Теорема: , но - эти слагаем мож рассм-ть как энер приход на 1-у степень свободы. Т.о. сред энерг, приход-ся на степень свободы одна и таже, и равна: . Но это не всегда так. Если молекула сложная (сост из 2-х и более атомов), то необход учитывать вращательные и колебательные степени свободы А для всех ли сист это выполняется? Пусть X-любая из переменн, описывающих микросост-е газа(Х и q , p). Пусть энерг сист можно представить в виде суммы квадратичных членов: . Мож док-ть, что. Теорема о равномер распредел энерг по степеням свободы м/б использов-а в тех случаях, когда энергия сист мож представить в виде суммы квадрат-х слаг-ых оно равняется . Но это возможно толко в этом класс-ом случае в др случае эта формулировка не верна. Затруднения. Измере-я показали, что КТТ далеко не всегда дает рез-ты совпадающие с эксперим-ми. 1.Известен за-н –III начало т/д , т.е С_V должна с ростом тем-ры стабилизироваться (график С_V от Т). КТТ дает const - не зависящую от Т величину. III начало – з-н, потвержден-й опытом. Здесь кардинальное расхождение теории опыта. 2. Расс-м теплоем-ть 2атомных газов с жесткой связью м/у атомами. Опыт показ-т, что имеется согласие теории и опыта при T>T₀, где Т₀ – хар-ая температура, при Т<Т₀ согласия с опытом нет и оно тем хуже, чем ниже тем-ра. Кажется, что при низких тем-ах <T₀, вращат степени исчезают, «вымерзают» (график – C_V от Т, две линии – 3/2R и 5/2R, с  до 0 идет сначала долго около 5/2R потом после T₀ спуск практич. до 0). У 2ат газов с нежесткой связью также вымерзание колебат. ст.своб. У тв.тел при T<T_k С~T³. Теп-ть МЕ. Для мет-ов емеется разное расхождение м/у теорией и опытом уже при обычных тем-ах ~ 300^оК. Это рассхожд-ие нельзя объяснить никакими поправками или неточностью эксперимента. Мет-лы характерны наличием свобод-х электронов. С_{МЕТАЛЛА}=С_{РЕШЕТКИ}+С_{ЭЛЕКТРОНОВ}. С_РЕШ=3R. Э-ны м. расс-ть как своего рода газ, состоящий из матер точек –э-ов. У такого газа част-цы имеют только поступ-ые степени свободы С_ЭЛЕКТР=3/2R на 1 моль. Эксперимент С3R, т.о. если исходить из экспер-та, то теп-ть э-нного газа надо считать равной 0. При уменьш. Т теп-ть мет-в умен-ся вплоть до 0 при Т=0. Представленные данные показ-т, что КТТ м. иметь только ограниченную применимость. Причины: не учитываются квантовые особенности повед-я частиц: дискретность уровней энергии частиц, а мы при вычислении энергию считаем непрер-ой. Квант теория колебаний крист решетки. Модель решетки: 1. Реш-ка сос-т из N атомов, кажд атом совершает 3 независимых кол-я, т.о. вместо решетки рассматриваем совок-ть 3N гармонич осцилляторов. 2. В квант-м случае дополнение: все осцилляторы кол-ся с одной и той же частотой Согласно кв мех-ке эн-ия осциллятора квантуется по з-ну , где n=0,1,2... Отдельный осцил-р можно рассматривать, как квазинезавис-ую подсистему и применит к нему КР (квантовое): Уровни энергии осцил-ра не вырождены, т.е. каждой энергии отвечает одно, и только одно сос-ие, т.е. Средняя энергия одного осцил-ра: ,где Z –статистич сумма, , сменим индекс , , , d<1, т.е получилась бесконечно убывающая прогрессия: Видно, что мы получили рез-т, в корне отличающийся от классического, т.к. по классич теории Е одной колебат степени свободы =кТ и не зависит от частоты. Но нас интерес-т тепл-ть. Рассмотрим комбинацию: => или В этой области: => При больших темпер-х рез-ты квантов теории не расходятся с классич теорией и эксперим-м. Расс-м случай: -низкие темпер-ры. В знаменателе выражения единицей можно пренебречь. Экспонента убывает быстрее, чем График: С_V от Т, прямая линия С_V=3Nk –классика. Меньше T₀ – убыв. до 0. При учитывании уровней дискрет-ти уровней энергии, недоразумение разрешилась. Квант эн-ия, чтобы перейти с уровня на уровень должна поглотить порцию эн-ии. Поэтому больш-во осцилляторов решетки остается на нулевом уровне. Если «кусок» тв. тела привести в контакт с системой, имеющей темпер-ру , то эта сист не сможет передать куску металла тепло. Мера интенсивности тепл движ-ия и эта порция эн-ии недостаточна, чтобы возбуд-ть осцил-р. Т.о. тв. тело теряет способность получать тепло. Но не имеет возможности и отдавать тепло. Чтобы отдавать, надо что-то иметь, а у нас больш-во осцил-ров на нулевом уровне. Т.о. колебат. степени свободы в тв. теле автоматически выбывают из теплового движения. С этой точки зрения легко объяснить то, что происходит с газовыми системами. У большинства газов комнатная температура ниже характерной тем-ры для колебат движ-я в молек-х. Поэтому колебат степени свободы себя не проявляют. При темпер-х ниже Т2, характерной тем-ры вращат движ-я, выпадают и вращения молекул. При еще более низких тем-рах квантовые св-ва частиц наложит отпечаток и на поступат движение. Квантов ид газы. Частицы, составляющ газ, имеют только поступат степени свободы. Они заперты в пределах некот-го объема и не взаим-т др с др. Кажд частица дв-ся сама по себе в пределах 3-хмерного потенциальн ящика с бескон-но высокими стенками. Уровни эн-ии кажд частица дискретны и многократно вырождены. Кроме того н. учитывать и внутр-ие степени свободы, мы возьмем только спин. Спектр квант состоя-ний и уровней эн-ии у всех час-ц одинаков.

17. Распред-е Ферми-Дирака и Бозе-Энштейна. Прямое примен-е канонич распред-я (КР) невоз-но, т.к. в нем нет учета тождест-ти частиц и пр-па Паули. В кач-ве квазинезависим. подсист. берется совок-ть час-ц, находящихся в одном квантов состоянии. Все другие час-цы образ-т по отнош-ию к выделенным термостат. Число частиц в выделенном квантов сос-ии меняется, поэтому эта система с перемен-м числом час-ц, поэтому для ее исслед-я н. прим-ть БКР.  -квантов сост-ие; n_- число частиц в  -ом сос-ии. Т.к част взаим-т, то  постоянно мен-ся. Но совок-ть будет постоян-м. - число час-ц в сос-ии . Чтобы найти в кач-ве подсист н. использ-ть сов-ть всех частиц в -ом сос-ии. Все др част газа образ-т по отнош-ю к этим термостат. Поэтому применим к ним БКР: - больш стат сумма. _ -эн-я час-ц в - ом сост-ии(всех час-ц).  -число различных сос-ий сист при заданной эн-ии и задан-ом числе част.  -химич пот-л. Все частицы в одном квант сос-ии имеют одну и ту же эн-ию. Эн-я сист в целом Т.о. эн-я сист однозначно опред-ся числом э-ов. Утверждаем, что Это рав-во обеспеч-ся тем, что все э-ны принцип-но не различимы. Поэтому сос-ия подсист различ-ся только по числу частиц в ней. 1) Фермионы (одинаковые част с полуцелым спином: е, р ...). n_=0 или n_=1. => (это и есть Ферми-Дирака) 2) бозоны – част с 0 или целым спином. n_= 0,1...N , т.к число част велико, то N=. Эта сумма сход-ся, если при любом Е, для этого должно . Тогда: => -распред-е Бозе-Эйнштейна. Распр-ие част в квант ид газах по энергиям. Найти dn(), ,+d. С одной стороны d так велик, что на этот интер-л прих-ся большое кол-во d. С др стороны этот интер-л так мал, что в его пределах Тогда Для одной частицы: (2S+1) –учит-т разные спины.

18. Распределение Больцмана и критерии вырождения газа. Распредел-ие час-ц в квант-х ид. газах по энергии. Найдем число час-ц dn(в интервале от  до d Исполь-ем фор-лу Б. предполагать, что с 1 стороны интервал d настолько велик, что на него приход-ся большое кол-во квант. сост-ний dС др. стороны этот инт-ал настолько мал, что в его пределах Число кван-ых сост-ий dдля первой час-цы а (2s+1) учитывает разные спин-е сост-я объекта. Окончательно В такой форме распр-ие прим-ся на практике. Распределение Больцмана и критерии вырождения газа. Допустим энергия изм-ся от 0 до  Но такого не м. б. т. к. 0-ой энер-ии не м. б. Предположим, что выполн-ся условие (*) ; Т. о. Можно упростить форм-лу след-но т. е. Потеряно различие между боз-ми и ферм-ми. Если восп-ся др. форм-ой записи кв. распр-ий можно выбросить  - распределение Больцмана для час-ц квант-го ид. газа. По сути (*) применима к классике след-но ф-ла распр-ия Больц. т. е. его можно заменить классич. распр-ем Больц. Но иногда и в класс-ке нужно подчеркнуть дискр-ть ур-ей энергии. Раскроем (*) используя условие норм-ки  Данный интег-ал вычисл-ся при помощи ф-лы П9 в прилож-ии n=1,  (это критерий) Когда это рав-во вып-ся то примен-ма класс-ая физ-ка и все зак-ны выполн-ся. Если оно не выпол-ся, то класс-ка не применима. Тогда надо польз-ся распред-ем Бозе-Эйнш-Дирака. При этом нельзя применять и др. класс-ие законы. Про эту ситуац-ю говорят, что газ вырождается-это и есть отступ-ие газа от св-в класс-го ид. газа, связанное с квант-ми особен-ми повед-ия час-ц. Например ур-ие Менд-Клап pV=RT не будет справ-во для выврожд-го газа Причин же больше: есть силовое вз-вие т. е. не связано с кван-ми особ-ми. Выполнению неравен-ва способст-ет :1)большая масса m; 2)высокая тем-ра Т; 3)большой удельный обьем или малая плот-ть. В класс-ке не учит-ся ферм. и бозоны. т. к. если критерий вырож-н то число возм-ных кван-ых сост-ний для 1 час-цы на много превыш-ет число час-ц. След-но кв-ых сост-ний много а час-ц мало. Тогда в больш-ве сост-ний нет час-ц и лишь в нек-ых имее-ся по 1 час-це в этом случ-е ни тожд-ть ни запрет Паули никак себя проявить не могут. Можно оцен-ть когда мож-о применять класс-ую физ-у и когда ее примн-ие дает незнач-ую ошибку. Ясно что если мы буд-м из-т вопр-сы в тех случ-х когда это нер-во невыпол-ся мы получим резко отл-ся формы повед-ия газа от станд-ых.

19. Вырожденный фермион. газ. Электроны в металлах. Мы б. производить изуч-е на основе формул: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; Фермионы не м. скаплив-ся ни в каком сост-ии, это им запрещает при-п Паули.=> ф-ла (3) для ферм-ов дает фактически полное число ч-ц. Рассмотрим изменение химич. потенц-л . (График: ось ординат- ,ось абсцисс- Т, линия от знач-я  до Т₀ идёт по прямой, затем плавно переходит в параб. опускающ-ся ниже оси Т.) При уменьш. Т хим. потенц-л должен увелич-ся. При высоких Т, как для всех классич-х систем он отриц-лен. => При уменьш. Т, хим. потенц-л увелич-ся. Можно доказать, что монотонно: max =  (0), при Т=0. Здесь нет запрета на  > 0. Выделим область темп-р, в пределах кот-й м. б.   (0) или =₀ . Это м. б. в каком-то инт-ле темп-р от 0 до Т₀ (0ТТ₀). В определ-х случаях этот интер-л м. составлять 10 тыс.Т₀. Обратимся к распредел-ю Ферми: если >, при Т 0,  0. Если <, при Т 0,  1. Вблизи абс. 0 фермионы заполняют все квант-е сост-я, чья энергия нижеТ.о. энергия _F=_о , отделяет заполненное состояние от незаполненных. Обознач-е _F- энергия Ферми. (Графики:1-й ось орд-т -, ось абсц-с -, график- прямая от =0,n=1 до _F, n=1, затем ступенькой к оси  дальше -по оси. [при Т=0]. 2-й -тот же, но в области _F спуск плавный [при 0ТТ_О). Введём dn() - число ч-ц приходящ-ся в интервале от  до +d . для 0ТТ_О ,при  < _F , при  > _F  dn() Можно ввести плотность эл-нов на интер-л энергии - . (График – как прошлый, только ось не n, a  и до _F идет не прямая, а ). Оценим температуру Т_О, в пределах кот-й происходит заселение уров-й. Воспольз-ся ф-лой (3). , т. к. ТТ_О (*)1, при _F, и  0, при _F . , при (**)Темпер-ру Т_О м. оценить из kT_F , Энергия Ферми _F 1-10 эВ зависит от сорта и концентрации ч-ц. Рссмотрим зависим-ть p от T и V, и  от T и V. При достаточно низких Т интеграл упрощается, используя ф-лу (*)  , , _F , U . Энергия фермионного газа практич. не зависит от темпер-ры  теплоёмкость С_V= фермион. газа =0. При нагрев-ии, ч-цы переходят на более высокий уровень, при охлаждении - опускаются. Большинство ч-ц фермион. газа не м. изменить своего кванов-го сост-я  не м. активно участв-ть ни в каких явлениях.  С_V фермион. газа =0, и только малое число ч-ц ( 1-2) от общего кол-ва (энергия  _F), м. изменить состояние т. .к вблизи них есть своб-е ур-ни энергии. Но в силу тождественн-ти ч-ц нельзя сказать, что электрон А находится на уровне , а электрон Б - на уровне Б. Интенсивность теплового движ-я характериз-ся kТ имеется интервал шириной 2kТ, где эл-ны м. менять своё квант. состояние (эл-ны учавств-щие в теплов. движ-ии.) При Т0 полоса сужается. В природе сущ-ет 2 примера фермион газа: 1) электрон. газ в металлах, 2) нейтронные звёзды. Электр. газ в мет-х. Темпер-ру Т_О из kT=_F примем за темпер-ру вырождения. Т>>Т_О -классика, Т<<Т_О - «ступенька» Ферми - газа. Температ-й интервал очень широк. Исходя из ф-лы (**) м. сделать оценки: для металлов хорошо выполняются следующие представления: положит. ионы в узлах реш-ки , вокруг них своб. движ-ся электроны. Т. е. как-то выключ-ся электрич-е взаимод-вие м/у собой и ионами.  эл-ны образуют практич. ид. газ. Атомы в мет-лах посажены тесно ср. расстояние  d атома. значительные плотности. При образовании мет-а в ср. 1 атом теряет 1 эл-н эл-нов столько сколько атомов d_ат. 10^-10 м.  V  d³  концентрация  10³⁰ 1/м³. Масса эл-на m_e  10^-30 кг. Но чем > N и чем <m, тем > энергия Ферми. _F = 5-10 эВ.  Т_О = 310⁵ . Реально Т_О  50000-100000 К. Электр. газ в мет-ах вырожденный и его св-ва резко отлич-ся от классич-го газа. В тепловых явл-ях эл-ны практич. не заметны, т. к. активных эл-нов только  1 Скорости тепловых движ. эл-нов, их _ср весьма велики:  3-4 эВ, а для воздуха  310^-2 эВ. Т. е. это энергия  энергии верхних оболочек атомов  большие скорости движения  10⁶ м/с.  импульс эл. газа велик. Качественно запишем калорич. и термич. ур-е сост-я для эл-нов и газа Ферми: UТ. о. энергия не зависит от Т и определ-ся только концентр. ч-ц и V.  С_V=0. Используя ф-лу (1)  p   p не зависит от Т и определ -ся только концентр-ей.

20. ЭМ излучения как фотонный газ. Формула Планка. Фотон мы представляем в виде матер. точки, о местонахождении кот-ой знаем лишь из неопред-ти ХРх2h. Стремясь сжать Х мы должны увелич-ть Рх   увелич-ся. Может возникнуть неск-ко фотонов. Мех-ка фотона не м. б. такой же как и для др. ч-ц. m=0,  V=C  фотон - релятив-я ч-ца. Из релят. мех-ки   = СР. Фотону припис-ся определ-й спин s=1, но лишь две ориентации спина =  1(связано с поперечностью эл. м. волн). Связь  и Р приводит к изменению фор-л . Равновесн. фотон-й газ м. получить, заперев ф-ны в замкн. обл-ть V. Но и тут есть отклонения: 1) ф-ны не сохран-ся в отличии от др. ч-ц. Идёт непрер-й процесс поглащ-я и излуч-я фотонов стенками. Равновесие достиг-ся равномерным поглащ-ем и испусканием. 2) Фотоны практич. не взаимодейст-ют др. с др., т. е. образуют ид. газ. (Знаем, что полностью искл. взаимодействие нельзя (иначе не устан-ся равновесие)  нельзя делать всю стенку зеркальной. 3) Из-за несохранения фотонов следует, что хим. потенциал фотон. газа =0 всегда. Будем рассматр-ть фот. газ при V и Т=const. Для этих систем им-ся min своб-ой энергии в состоянии равновесия: F_min В этом случае параметром, который мен-ся при отклонении от равновесия явл-ся число фотонов. Мгновеннное число фотонов N будет всё время колеб-ся. Но среднее число ф-нов будет постоянным. (используется в ТД). F=F(V,T,n) - условие F_min  n₀ - равновесное. Но Заметим, что фотоны явл-ся бозонами s=1. Для фотонов справедливо распрелел-е Бозе - Эйнштейна. , т.к.  = 0  Формула Планка. Найдем в пр-ке от  до d. Используем Бозе-Эйнштейна. Примем . . Энергия всех этих фотонов . Частицу можно представить как волновое поле. Формулы связи и . Т.е. есть в интервале от  до +d. , след. , . Примем . . распред. по всему V, поэтому . Сравнивая, получаем  энергии равновесного ЭМ излучения: - формула Планка. Была получена из соображений что вещество стенок поглощает и излучает свет порциями величиной . Отсюда следует, что уровни энергии атомов дискретны.

25 решение ур-я будет . Частное решение положим , . Окончательно . Проинтегрировав, получим , где C₂=0, положив начало движ. отн. точки отсчета. Первое слагаемое не дает ощутимый вклад, поэтому - ф-ла Эйнштейна-Смолуховского. Обсуждение. Допускает простую эксп. проверку. Т.е. измеряем x в поле зрения. Знаем T, r, . Опыты подтвердили закон. Для проверки достаточно наблюдать одну частицу. И вид такой – зигзаги всякие. Также если в нач. момент молекулы были в одном пр-ве, открываем перегородку, найдем время возвращения в первонач. объем. Это время резко возрастает с кол-вом числа частиц. Если рассм. явл. убыли броун. частиц в пределах нач. круга – диффузия. Сущ. связь коэфф. диффузии с коэфф. вязкости. Есть также распред. броун. частиц в поле силы тяжести по высоте. Потоки вверх и вниз уравновешивают друг друга.

21. Законы равновесного ЭМ излучения. Излучение АЧТ. Уравнение состояния фотонного газа.

Функция Стефана-Больцмана для интегральной плотности энергии. Формула Бозе-Эйнштейна: , . в интервале от  до +d и в интервале от  до +d. Далее , . , . , , . . Следовательно , где . Закон смещения Вина. (График от , такой горбик, его вершинка есть ₀). Как будет меняться ₀ при изменении T? Вершина есть . . Т.е. . Пусть . Предположим что x₀ нашли. Тогда , и . Закон смещение – т.к. максимум смещается вдоль оси частот. Закон Вина и Релея-Джинса. , , , . Если , то . Следовательно . Далее, . Большое историческое значение.