§12. Парабола

О п р е д е л е н и е. Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние от которых до заданной прямой, называемой директрисой, равно расстоянию до заданной точки – фокуса: .

Расстояние от фокуса до директрисы называетсяфокальным параметром параболы.

По аналогии с эллипсом и гиперболой выводится каноническое уравнение параболы: .

Изучение формы параболы

1. –ось симметрии параболы.

2. Точки принадлежат параболе.

3. Поиск точек пересечения произвольной прямой проходящей через начало системы координат с параболой сводится к решению к решению уравнения. Таким образом, если прямаяотлична от оси(), то она пересекает параболу в двух различных точках. Осьпересекает параболу в одной точке.

§13. Директориальное свойство эллипса и гиперболы

О п р е д е л е н и е. Директрисой эллипса (гиперболы) называется прямая, перпендикулярная фокальной оси и отстоящая от второй оси на расстоянии .

Таким образом, для эллипса (гиперболы), заданных каноническими уравнениями , директрисы задаются уравнениями.

Имеет место следующая теорема

Т е о р е м а. Эллипс (гипербола) есть множество всех точек плоскости, отношение расстояний от которых до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Д о к а з а т е л ь с т в о.Фактически требуется доказать совпадение двух множеств: эллипса (гиперболы) и множества точек, обладающих указанным в теореме свойством. Таким образом, достаточно показать включение каждого из этих множеств в другое.

1. Для любой точки , принадлежащей эллипсу (гиперболе), её координаты удовлетворяют уравнению. Кроме того, для этих линий соответственно имеем соотношения:. Учитывая это, можно подсчитать. Так как, то получаем. Таким образом, имеет место включение всех точек эллипса (гиперболы) во множество точек, отношение расстояний от которых до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

2. Пусть для точки имеет место равенство. Получаемили

.(*)

Если , тои. Уравнение (*) определяет гиперболу. То есть точкапринадлежит гиперболе.

Если , то,и уравнение (*) определяет эллипс. То есть точкапринадлежит эллипсу.

Таким образом, для множества точек, отношение расстояний от которых до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, показали его включение во множество точек эллипса (гиперболы).

Из пунктов 1, 2 следует справедливость утверждения теоремы.

Лекция 5. Классификация линий второго порядка на плоскости §14. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Из определения алгебраической линии следует, что в произвольной аффинной системе координат уравнение линии второго порядка имеет вид:

, (1) где –общее уравнение алгебраической линии второго порядка.

Пусть относительно прямоугольной системы координат линия второго порядка задана уравнением (1).

Т е о р е м а. Для каждой линии второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат уравнением (1), существует прямоугольная система координат , в которой линия задается уравнением вида

(2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем формулы преобразования координат при повороте осей координат на угол

(3)

Чтобы найти уравнение линии в новой системе координат, нужно в уравнение (1) подставить выражения (3) старых координат через новые. Будем искать такой угол поворота осей координат, чтобы в новом уравнении коэффициент прибыл равен нулю:

. (4)

В уравнении (4) . В противном случае, получим, то есть уравнение (1) уже имеет требуемый вид.

Из однородного уравнения (4) находим два значения угла , для которых коэффициент при произведении текущих координат обращается в нуль. Можно выбрать любой из них. При повороте осей координат системына этот угол получим искомый репер.

Пусть уравнение линии второго порядка приведено к виду (2). Возможны случаи

I. .

Выделив для иполные квадраты, получим уравнение вида

, (5)

где обозначено

Отсюда получаем – формулы преобразования координат при переносе начала системы координат в точку.

В зависимости от значений параметров можно получить следующие канонические уравнения

			Каноническое уравнение	Название линии
+	+	-		Эллипс
-	-	+
+	+	+		Мнимый эллипс
-	-	-
+	-			Гипербола
-	+
+	+	0		Пара мнимых пересекающихся прямых
-	-
+	-	0		Пара пересекающихся прямых
-	+

II. .

Уравнение (2) можно записать в виде

.

Обозначив ,, получим каноническое уравнение параболы:.

III. .

Уравнение линии приводится к виду . В зависимости от значений параметраполучаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары совпавших прямых, пары мнимых параллельных прямых.

Таким образом, имеем 9 сортов линий второго порядка.

Чтобы привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду, надо:

1. добиться, чтобы в группе старших членов исчез член с произведением текущих координат (поворот осей координат);

2. добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим (выделение полных квадратов, перенос начала системы координат);

3. если возможно, уничтожить свободный член (перенос начала системы координат).