§11. Векторное умножение свободных векторов

О п р е д е л е н и е. Векторным произведением [] векторов иназывается вектор, длина которого равна произведению длин векторовина синус угла между ними, этот вектор ортогонален векторамии, если он не нулевой, то образует с ними правую тройку.

У п р а ж н е н и е. Найти векторные произведения ,,,векторов ортонормированного базиса ().

Можно сформулировать следующий алгоритм нахождения векторного произведения векторов ортонормированного базиса:

Если порядок сомножителей согласуется с направлением стрелки между этими векторами, то векторное произведение равно оставшемуся вектору. В противном случае, векторное произведение равно вектору, противоположному оставшемуся вектору.

У п р а ж н е н и е. Обосновать свойства векторного умножения свободных векторов:

1. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах;

2. ;

3. (тождество Лагранжа).

Выполняются следующие законы векторного умножения свободных векторов:

1. (антикоммутативность);

2. (числовой множитель можно выносить за знак векторного умножения);

3. (распределительный закон).

Доказательство этих законов рассмотрим в следующем параграфе.

У п р а ж н е н и е. Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:

1. Как, используя векторное произведение векторов, можно найти площадь, высоту параллелограмма, треугольника?

§12. Смешанное умножение свободных векторов

О п р е д е л е н и е. Смешанным произведением ()свободных векторов называется число, равное скалярному произведению вектораи векторного произведения.

Следующие две теоремы раскрывают геометрический смысл смешанного произведения трех свободных векторов.

Т е о р е м а 1 (условие компланарности трех векторов). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Т е о р е м а 2 (о геометрическом смысле смешанного произведения трех некомпланарных векторов). Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка векторов левая.

У п р а ж н е н и е. Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:

1. Как, используя векторное и смешанное произведение векторов, можно найти объем, высоту параллелепипеда, тетраэдра?

У п р а ж н е н и е. Опираясь на определение и геометрический смысл смешанного произведения трех векторов, а так же на законы скалярного умножения, докажите законы смешанного умножения векторов:

1. (при циклической перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется);

2. ( при перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак);

3. (числовой множитель можно выносить за знак смешанного умножения);

4. (распределительный закон).

Для доказательства законов векторного умножения воспользуемся законами смешанного умножения и следующей леммой.

Л е м м а. Если для любого вектора скалярное произведениеравно нулю, то вектор– нулевой вектор.

Чтобы убедиться в справедливости леммы, достаточно в качестве взять вектор.

Докажем закон антикоммутативности векторного умножения. Для любого вектора имеемили. Используя законы скалярного умножения, получим. Тогда по лемме следует, что. Имеем.

Остальные законы векторного умножения доказываются аналогично.

У п р а ж н е н и е. Укажите, какие свойства и законы скалярного, векторного и смешанного умножений используются на каждом этапе вывода формул вычисления векторного и смешанного произведений через координаты в ортонормированном базисе :

, .