- •§2. Свободный вектор
- •§3. Сложение и вычитание свободных векторов
- •§4. Умножение свободного вектора на число
- •Лекция 2. Векторное пространство. Базис и координаты вектора §5. Понятие векторного пространства
- •§6. Линейная зависимость векторов
- •§7. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •Лекция 3. Скалярное умножение свободных векторов §8. Проекция вектора на вектор
- •§9. Скалярное умножение свободных векторов
- •Лекция 4 - 5. Векторное и смешанное умножение свободных векторов §10. Ориентация векторного пространства
- •§11. Векторное умножение свободных векторов
- •§12. Смешанное умножение свободных векторов
- •Раздел II. Аналитическая планиметрия Лекция 1. Аффинные системы координат на плоскости. Метод координат §1. Аффинная система координат на плоскости
- •§2. Формулы преобразования координат
- •§3. Метод координат на плоскости
- •Лекция 2. Прямая на плоскости как линия первого порядка §4. Уравнение прямой на плоскости
- •§5. Особенности расположения прямой относительно системы координат
- •Лекция 3. Аналитическое задание полуплоскостей. Вычисление расстояний и углов на плоскости §6. Геометрический смысл знака трехчлена прямой
- •§7. Расстояние от точки до прямой
- •§8. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •§9. Угол между прямыми
- •Лекция 4. Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола §10. Эллипс
- •§11. Гипербола
- •§12. Парабола
- •§13. Директориальное свойство эллипса и гиперболы
- •Лекция 5. Классификация линий второго порядка на плоскости §14. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Лекция 6. Общая теория линий второго порядка §15. Центр линии второго порядка
- •§16. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой
- •§19. Диаметры линий второго порядка
- •§20. Главные направления, главные диаметры
- •Литература
Раздел II. Аналитическая планиметрия Лекция 1. Аффинные системы координат на плоскости. Метод координат §1. Аффинная система координат на плоскости
О п р е д е л е н и е. Аффинной системой координат на плоскости (аффинным репером) называется точка и два неколлинеарных вектора: .
Прямые и, определяемые точкойи векторамии, называются соответственно осью абсцисс и осью ординат.
Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная система координат , определяемая точкойи ортогональными ортами.
О п р е д е л е н и е. Вектор называетсярадиус-вектором точки .
О п р е д е л е н и е. Координатами точки называются координаты её радиус-вектора: .
У п р а ж н е н и е. Построить точку по координатам в заданном аффинном репере.
У п р а ж н е н и е. Найти координаты вершин правильного шестиугольника с центромотносительно аффинной системы координат.
Отметим простейшие задачи, решаемые с помощью координат
Определение координат вектора по координатам начала и конца относительно аффинной системы координат .
.
Определение координат точки по заданному простому отношению трех точек прямой и координатам двух из них относительно аффинной системы координат .
О п р е д е л е н и е. Простым отношением трех точек прямой, заданных в указанном порядке, называется число, такое, что(обознач.).
У п р а ж н е н и е. На прямой выбраны точки так, что. Определить.
Пусть и, то есть. Переходя к коррдинатам векторов, получим:. Отсюда получаем возможность выразить координаты точки:.
В частности, если середина, тои получаем– координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат концов отрезка.
Вычисление расстояния между точками по координатам относительно прямоугольной системы координат .
Расстояние между точками иможно найти как длину вектора. Поскольку базис ортонормированный, то получаем
–расстояние между точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей соответствующих координат точек.
§2. Формулы преобразования координат
При изменении системы координат будут меняться координаты точек. Как будет происходить это изменение?
Перейдем от репера к реперу, где известны координаты точкиотносительно репераи координаты векторовив базисе:,,
здесь , так как векторыиобразуют базис.
Для произвольной точки плоскости имеем координатыотносительно репера– старые координаты, и координатыотносительно репера- новые координаты. Выразим старые координаты точки через её новые координаты. Имеем
. (1)
(– радиус вектор точкив репере).
(– радиус-вектор точкив репере).
Учитывая это и разложение векторов ипо векторам базиса, из (1) получимформулы преобразования координат при замене аффинного репера:
(*).
Если при замене репера меняется только начало системы координат, то есть, тои формулы (*) принимают вид:
–формулы преобразования координат при переносе начала системы координат.
Произвольную замену репера можно осуществлять в два этапа: перенос начала системы координат и замена координатных векторов.
Особо рассмотрим преобразование прямоугольной системы координат.
Пусть реперы иориентированы одинаково. Отложив векторыиот точки, найдем координаты этих векторов в базисе.
Имеем ,.
Формулы (*) примут вид
(**).
Из них, в частности, получим формулы преобразования координат при повороте осей прямоугольной системы координат на угол :
Проведя аналогичные рассуждения в случае противоположно ориентированных реперов и, получим формулы
(***).
Формулы (**) и (***) можно записать в общем виде
, где .