§5. Особенности расположения прямой относительно системы координат

Относительно системы координат прямаязадана уравнением, где.

1. ;

2. ;

3. ;

4. или –уравнение прямой в отрезках.

Здесь и– отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

5. или–уравнение прямой с угловым коэффициентом. Здесь – тангенс угла наклона прямой к оси.

Лекция 3. Аналитическое задание полуплоскостей. Вычисление расстояний и углов на плоскости §6. Геометрический смысл знака трехчлена прямой

Каждая прямая плоскости разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от данной прямой. Любые две точки, принадлежащие различным полуплоскостям, лежат по разные стороны от прямой. Как аналитически, то есть по уравнению прямой и координатам точек определить, лежат эти точки в одной или в разных полуплоскостях относительно данной прямой?

Относительно аффинной системы координат прямая задана уравнением, где.

Обозначим –трехчлен прямой.

Для точек и, не лежащих на прямой, будем иметь.

Точки илежат по разные стороны от прямойтогда и только тогда, когда отрезокпересекает прямуюв некоторой точке.

Так как точка лежит междуи, тои,.

Точка лежит на прямой, поэтому. Отсюда получаеми, а значитиразных знаков.

Таким образом, две точки илежат по разные стороны от прямойтогда и только тогда, когда значения трехчлена прямой для координат этих точекиразных знаков.

Имеем геометрический смысл знака трехчлена:

Каждое из неравенств определяет полуплоскость с границей.

§7. Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости относительно прямоугольной системы координат прямаязадается уравнением, где.

Расстояние от точки до прямойравняется длине перпендикуляра, проведенного изк прямой.

Так как , то.

. Так какравен либо 1, либо -1, то получаем

. Учитывая, что , то есть, получаемформулу для вычисления расстояния от точки до прямой

.

§8. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Относительно аффинной системы координатпрямыеизадаются уравнениями

Для каждой прямой можно найти точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор

1. 

2. .

3. .

§9. Угол между прямыми

Углом между прямыми иназывается величина того из четырех вертикальных углов, образованных этими прямыми, который не превосходит остальные углы. Таким образом, уголмежду прямыми может принимать значения от 0 до.

Иногда удобно угол между прямыми считать направленным. Угол между прямыми и, заданными в указанном порядке, будем считать положительным, если поворот откпо этому углу совершается против часовой стрелки, в противном случае угол будем считать отрицательным.

Пусть на плоскости относительно прямоугольной системы координат прямыеизадаются уравнениями

Тогда ,.

1. Угол между прямымииравентогда и только тогда, когда направляющие векторы прямых ортогональны и, следовательно,.

2. Если угол между прямыми отличен от, то он однозначно определяется по значению его тангенса. Можно заметить, что тангенс направленного угла между прямыми равен тангенсу направленного угла между направляющими векторами этих прямых.

Как вычислить тангенс направленного угла между векторамии?

Пусть инаправленные углы между вектороми направляющими векторами прямых. Для направленного угламежду векторамииимеем.

Для вычисления найдеми:

.

.

Таким образом, .

Возможны случаи

а) .

, где и– угловые коэффициенты прямыхи.

б) , (параллельна, ане параллельна оси).

.

в) (параллельна, ане параллельна оси).

.

г) , (прямые параллельны оси).