§19. Диаметры линий второго порядка

Пусть вектор определяет неасимптотическое направление относительно линии второго порядка.

Рассмотрим множество середин всех хорд, параллельных этому направлению.

Задавая уравнения хорд, в качестве начальной точки будем брать именно середину хорды. Тогда

,

где – корни уравнения (*), определяющие концы хорды.

Получаем и по теореме Виета в уравнении (*), то есть координаты всех точекфигурыудовлетворяют уравнению

()

или

.

В уравнении хотя бы один из коэффициентов приотличен от нуля ( в противном случае получим, что противоречит выбору направления вектора). Таким образом,– это уравнение прямой и каждая точка множествапринадлежит этой прямой.

Можно показать, что каждая точка прямой, задаваемой уравнением , является серединой хорды, параллельной вектору, а значит, принадлежит множеству.

Таким образом, справедливо следующее утверждение

Т е о р е м а. Множество середин всех хорд линии второго порядка, параллельных неасимптотическому направлению, есть прямая, называемая диаметром, сопряженным этому направлению.

С л е д с т в и е 1. Из уравнения () следует, что если линияимеет центр, то он принадлежит диаметру.

С л е д с т в и е 2. Любой диаметр нецентральной линии имеет асимптотическое направление.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имея условие нецентральной линии и координаты направляющего вектора диаметра, несложно проверить, что. Тогда получим, то есть направлениедиаметра нецентральной линии является асимптотическим.

С л е д с т в и е 3. Парабола нецентральная линия. Её диаметры параллельны асимптотическому направлению – оси параболы.

С л е д с т в и е 4. Любая пара параллельных прямых имеет единственный диаметр – прямую центров.

Т е о р е м а (о диаметрах центральной линии). Если диаметр является множеством хорд, параллельных диаметру, тоявляется множеством середин хорд, параллельных диаметру.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Уравнения диаметров , сопряженных направлениям векторови соответственно имеют вид

,

.

Из условия параллельности вектора диаметру

получим, что

,

то есть выполняется условие параллельности вектора диаметру.

О п р е д е л е н и е. Два диаметра центральной линии второго порядка называются сопряженными диаметрами, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру.

Пусть – диаметр, сопряженный неасимптотическому направлению. Направление вектора, параллельного диаметру, называется сопряженным направлению. Имеемусловие сопряженности двух направлений

§20. Главные направления, главные диаметры

О п р е д е л е н и е. Направление называется главным направлением относительно линии второго порядка, если оно сопряжено с перпендикулярным ему направлением.

Т е о р е м а. Относительно любой линии второго порядка, отличной от окружности, существуют два и только два главных направления. Относительно окружности любое направление является главным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Записав условие сопряженности для ортогональных направлений и, получим условие

, ()

которое позволяет найти главные направления и определить их число.

I. Пусть в () . Тогда(в противном случае получим). Из () получаем квадратное уравнение с неизвестным . Это уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант больше нуля. Следовательно, в этом случае относительно линии второго порядка существуют ровно два главных направления.

II. Если в () , то получаем. Имеем два главных направленияи– направления координатных осей.

III. Если в (), то есть () является тождеством, то любое направление является главным относительно линии второго порядка. В этом случае уравнение линии приводится к каноническому уравнению . То есть линия является окружностью (вещественного, нулевого или мнимого радиуса).

О п р е д е л е н и е. Диаметр линии второго порядка называется главным диаметром, если он перпендикулярен сопряженным хордам.

Таким образом, главный диаметр является осью симметрии линии второго порядка.

Из следствия о диаметрах нецентральной линии следует, что нецентральная линия имеет только один главный диаметр – ось симметрии асимптотического направления.