Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 1 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 3 и 8 и рисками 4 и 8. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции "short sale" и с какими ценными бумагами?

Решение. Итак, m₀ =1, M=3 , V= 16 0.

8. 0 4

Зададимся эффективностью портфеля m_p. Теперь надо найти обратную матрицу к матрице V .

Это просто: V^-1 =1/16 0

0. 1/4.

Вычислим знаменатель:

V^-1 (M - m₀I) = 1/16 0 2 = 1/8

0 1/4 7 7/64

(M - m₀I)^T V^-1 (M - m₀I) = (2 7) 1/8 = 65/64

7/64

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X^* =((m_з-1)/(65/64)) 1/8

7/64.

Таким образом, x₁ = 8(m_p-1)/65 , x₂ = 7(m_p-1)/65. Следовательно, x^*₀ =1- x₁ - x₁= =(16 - 3m_p)/65 . Понятно, что необходимость в операции "short sale" возникнет, если x^*₀ < 0, т.е. когда m_р > 16/3, x₁< 0, т.е. когда m_р >1.

Кратчайший путь

Найти кратчайший маршрут между узлом 1 и другим узлом jграфаj=2,3…8.

Составим таблицу.

	1	2	3	4	5	6	7	8
1		7	3	2
2	2		3		5
3	6	4		5	3		8
4	4		7			5		8
5		8	5			4		9
6			8	4	3		4	9
7			6		3	7		5
8				5	6	3	6

Пусть U₁=V₁=0. Найдем

V₂=0+7=7 U₂=7.

V₃=MIN(U₁ + d₁₃; U₂ + d₂₃ )=MIN(0+3; 7+3)=3 U₃ = 3

V₄=MIN(U₁ + d₁₄; U₃ + d₃₄ )=MIN(0+2; 3+5)=2 U₄ = 2

V₅=MIN(U₂ + d₂₅; U₃ + d₃₅ )=MIN(7+5; 3+7)=8 U₅ = 8

V₆=MIN(U₅ + d₅₆; U₃ + d₃₆; U₄ + d₄₆)=MIN(8+4; 3+ ;2+5)=7 U₆ = 7

V₇=MIN(U₃ + d₃₇; U₅ + d₅₇; U₆ + d₆₇ )=MIN(3+8; 8+ ; 7+4)=11 U₇ = 11

V₈=MIN(U₅ + d₅₈; U₇ + d₇₈; U₆ + d₆₈; U₄ + d₄₈ )=MIN(8+9; 11+5; 7+9; 2+8)=10 U₈ = 10

При переходе к шагу 2 проверяем условия оптимальности путем сравнения V_j – U_i c d_ij :

	1	2	3	4	5	6	7	8
Vj – Ui	-	7	3	2	-	-	-	-
dij	-	7	3	2	-	-	-	-

Так как V_j – U_i < d_ij для всех j, то величины V_j пересчитывать не надо. В процессе реализации алгоритма обнаруживается, что условие оптимальности нарушается при i=3 для j=5. Величина V₅= U₅= U₃ + d₃₅ = 3 + 3 = 6.

В последующих вычислениях используются измененное значение V₅ и U₅.

	1	2	3	4	5	6	7	8
1	-	7	3	2	-	-	-	-
	-	7	3	2	-	-	-	-
2	-7	-	-4	-	1	-	-	-
	2	-	3	-	5	-	-	-
3	-3	4	-	-1	3	4	8	-
	6	4	-	5	3		8	-
4	-2	-	1	-	-	5	-	8
	4	-	7	-	-	5	-	8
5	-	1	-3	-	-	1	5	4
	-	8	5	-	-	4		9
6	-	-	-4	-5	-1	-	4	3
	-	-	8	4	3	-	4	9
7	-	-	2	-	-5	-4	-	-1
	-	-	6	-	3	7	-	5
8	-	-	-	-8	-4	-3	1	-
	-	-	-	5	6	3	6	-

По этой таблице и матрице смежностей можно определить кратчайшее расстояние между узлом 1 и 8. Найдем сначала узел, непосредственно предшествующий узлу 8. Из столбца 8 матрицы смежностей находим, что равенство V₈ = U_i + d_i8 выполняется при i=4.

Из столбца 4 видно, что равенство V₄ = U_i + d_i4 выполняется при i=1.

Получившиеся участки дают кратчайший путь 1— 4 — 8.