Матричная модель производственной программы предприятия

Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает x_j единиц продукции, из которых y_j единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.

Пусть a_jk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха. Числа a_ij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной.

0,2 0 0,4 5 6 7 40

А = 0,2 0 0,1 B = 4 0 2 Y = 80

0,3 0,1 0,1 30 20 18 50

0,1 0,3 0,1

Производственная программа предприятия представляется вектором X(x₁, … , x_n), а выпуск товарной продукции – вектором У(у₁, … , у_n). Очевидно,

(Е - А)Х = У или Х = (Е - А)^-1У.

0,8 0 -0,4 1 0 0 1 0 0 1,53 0,07 0,69

(Е - А)^-1= -0,2 1 -0,1 0 1 1 = 0 1 0 0,36 1,03 0,27

-0,3 -0,1 0,9 0 0 1 0 0 1 0,55 0,14 1,37

Элементы любого столбца матрицы (Е - А)^-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.

При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.

1,53 0,07 0,69 40 106,9

Х = (Е - А)^-1У= 0,36 1,03 0,27 80 = 110,3

0,55 0,14 1,37 50 101,7

Определим матрицу коэффициентов полных затрат внешних ресурсов на единицу выпуска товарной продукции каждого вида

5 6 7 1,53 0,07 0,69 13,66 7,51 14,66

H = B(Е - А)^-1= 4 0 2 0,36 1,03 0,27 = 7,22 0,56 5,5

30 20 18 0,55 0,14 1,37 63 25,22 50,76

0,1 0,3 0,1 0,32 0,33 0,29

Дополним структурную матрицу А матрицей В коэффициентов прямых затрат, получаемых со стороны сырья, полуфабрикатов и т.п. Очевидно, затраты получаемых со стороны материалов определяются элементами матрицы S, где

В = (Е - А)^-1У = S

13,66 7,51 14,66 40 1880,2

S = HY = 7,22 0,56 5,5 80 = 608,6

63 25,22 50,76 50 7075,6

0,32 0,33 0,29 53,7

Зная закупочные цены сырья и рыночные цены готовой продукции, можно подсчитать прибыль.

Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

Пусть матрица игры есть –1 2 -4 1 . Графическое решение этой игры 2 -3 2 6

показано на рисунке 1.

Цена игры V=-8/11, которая считается так

V₁=2x – 3(1 - x) = 5x - 3

V₂=-4x + 2(1 -x) = -6x + 2

V = V₁ = V₂ =-8/11

Оптимальная стратегия первого игрока Р*= (5/11, 6/11).

Подсчитаем оптимальную стратегию второго игрока

2y – 4(1 - y) = -8/11

y= 6/11

Оптимальная стратегия второго игрока Q*=(6/11, 5/11)

Дисперсия выигрыша первого при оптимальных стратегиях D = 900/121, т. е. риск игры равен примерно 2,7273. Далее вычисляем дают

D(P*,1) = (5/11 6/11) 4 16 1 - (-8/11)² = 750/121

9 4 0

D(P*,2) = (5/11 6/11) 4 16 0 - (-8/11)² = 1080/121

9 4 1

D(1,Q*) = (1 0) 4 16 6/11 - (-8/11)² = 1080/121

9 4 5/11

D(2,Q*) = (0 1) 4 16 6/11 - (-8/11)² = 750/121

9 4 5/11

Вычисляем риски

r₁ = 2,4865 r₁ = 2,9876

r₂ = 2,9876 r₂ = 2,4865

Пусть . Эту величину и можно назвать риском всей игры. Однако играть с таким риском можно лишь при согласии обеих сторон. Для анализируемой игрыr = 2,4865 и игроки для достижения такого риска должны играть так: Первый играет со своей оптимальной стратегией Р*= (5/11, 6/11), а Второй должен использовать 1-ю чистую стратегию или Второй играет со своей оптимальной стратегией Q*= (5/11, 6/11), а Первый должен использовать 2-ю чистую стратегию