ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине "Прикладная математика"

Выполнил Голуб Александр Алексеевич

Институт Информационных Систем Управления

Специальность Математические Методы и Исследование Операций в Экономике

Отделение дневное

Курс 3

Группа I

Руководитель Карпенков Николай Харламович

Дата сдачи на проверку 02.12.2000

Оценка

Подпись руководителя ………..................................................................

Москва 2000

Оглавление

Линейная производственная задача ………………………………… 3

Двойственная задача ……………………………..…..………………. 4

1. Нелинейная задача распределения ресурсов. Динамическое программирование ……………………………….………..…………. 6

Анализ доходности и риска финансовых операций ……..………… 8

Динамическая задача управления производством и запасами …… 10

Задача “о расшивке узких мест” ……………………………………. 14

Транспортная задача ………………………………………………… 16

Матричная модель производственной программы предприятия…. 18

Матричные игры: конкуренция, сотрудничество, риск ……………19

Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг…… 20

Задача о кратчайшем пути …………………………………………... 21

Список литературы …………..……………………………………… 23

Линейная производственная задача

Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

4 2 3 1 116

A= 2 0 3 2 B= 94 C= 48 15 11 32 (1)

4 1 0 5 196

Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах

Математическая модель задачи:

найти производственную программу

(x₁, x₂, x₃, x₄)

максимизирующую прибыль

z = 48x₁+ 15x₂ + 11x₃ + 32x₄ (2)

при ограничениях по ресурсам

4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + x₄ < 116

2x₁ + + 3x₃ + 2x₄ < 94 (3)

4x₁ + x₂ + + 5x₄ < 196

где по смыслу задачи

x₁  0, x₂  0, x₃  0, x₄  0. (4)

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств (3) при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х₅, х₆, х₇ заменим системой линейных алгебраических уравнений

4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + x₄ + х₅ = 116

2x₁ + + 3x₃ + 2x₄ + + х₆ = 94 (5)

4x₁ + x₂ + + 5x₄ + + х₇ = 196

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов. Среди всех решений системы уравнений (5), удовлетворяющих условию неотрицательности

х₁0, х₂0, … , х₅0, … , х₇0. (6)

надо найти то решение, при котором функция (2) примет наибольшее значение.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (5) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными.

Процесс решения этой задачи обычно записывается в виде некоторой таблицы 1.

C	Б	H	48	15	11	32	0	0	0
			х1	х2	x3	x4	х5	х6	х7
0	х5	116	4	2	3	1	1	0	0	116/4 MIN
0	х6	94	2	0	3	2	0	1	0	94/2
0	х7	196	4	1	0	5	0	0	1	196/4
	Z	0	-48	-15	-11	-32	0	0	0
48	х1	29	1	0.5	0.75	0.25	0.25	0	0	29/0.25
0	х6	36	0	-1	1.5	1.5	-0.5	1	0	36/1.5
0	х7	80	0	-1	-3	4	-1	0	1	80/4 MIN
	Z	1392	0	9	25	-20	12	0	0
48	х1	24	1	0.5625	0.9375	0	0.3125	0	-0.0625
0	х6	6	0	-0.625	2.625	0	-0.125	1	-0.375
32	x4	20	0	-0.25	-0.75	1	-0.25	0	0.25
	Z	1792	0	4	10	0	7	0	5

Производственная программа x₁=24, x₂=0, x₃=0, x₄=20 является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль Z_max = 1792.