Задача о "расшивке узких мест производства"

При выполнении оптимальной производственной программы первый и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют узкие места производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t₁,t₂,t₃)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

H + Q^-1T 0

Задача состоит в том, чтобы найти вектор

T (t₁, 0, t₃),

максимизирующий суммарный прирост прибыли

W = 7t₁ + 5t₃ (1)

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)

24 0,3125 0 -0,0625 t₁ 0

6 + -0,125 1 -0,375 * 0 0 (2)

20 -0,25 0 0,25 t₃ 0

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

116 t₁

1/3 94 0 (3)

196 t₃

причем по смыслу задачи

t₁ 0, t₃ 0. (4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

0,3125t₁ – 0,0625t₃ -24

-0,125t₁ – 0,375t₃ -6

-0,25t₁ + 0,25t₃ -2(5)

116/3 t₁

196/3 t₃

приходим к задаче ЛП: максимизировать (1) при условиях (5) и (4).

Эту задачу легко решить графически: см. рис. 1. Программа расшивки имеет вид и прирост прибыли составит 2464/9.

Сводка результатов приведена в таблице

Таблица 1

сj	48	15	32	50	B	x4+i	yi	ti
	4	2	3	1	116	0	7	116/3
aij	2	0	3	2	94	6	0	0
	4	1	0	5	196	0	5	196/3
Xj	24	0	0	20	1392			2464/9
j	0	4	10	0

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача формулируется следующим образом. Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах а₁, а₂,..., а_m единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно b₁, b₂,..., b_n единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна с_ij и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

Обозначим через х_ij количество груза, планируемого к перевозке от i-го поставщика j-му потребителю. При наличии баланса производства и потребления

(1)

математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так:

найти план перевозок

Х = (х_ij), i = 1,m; j = 1,n

минимизирующий общую стоимость всех перевозок

(2)

при условии, что из любого пункта производства вывозится весь продукт

(3)

и любому потребителю доставляется необходимое количество груза

(4)

причем по смыслу задачи

х₁₁ > 0 ,. . . ., x_mn > 0. (5)

Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов.

Пусть исходные данные задачи имеют вид

А(а₁, а₂, а₃) = (90; 75; 40);

В(b₁, b₂, b₃, b₄) = (48; 75; 41; 32);

4 1 3 1

С = 4 1 3 2

5 2 3 5

Общий объем производства а_i = 90+75+40 = 205 больше, чем требуется всем потребителям b_i = 48+75+41+32 = 196, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 205-196 = 9 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.

	b1 =48	b2 =75	b3 =41	b4 =32	b5 =9
а1 =90	4	1	3	1	0
		49		32	9
а2=75	4	1	3	2	0
	48	26	1
а3 =40	5	2	3	3	0
			40

Один из потенциалов можно выбрать произвольно, так как в системе (3), (4) одно уравнение линейно зависит от остальных. Положим, что р₁ = 0. Остальные потенциалы находим из условия, что для базисных клеток . В данном случае получаем

₁₂ = 0, p₁ + q₂ - c₁₂ = 0, 0+q₂ -1 = 0, q₂ = 1

₁₄ = 0, p₁ + q₄ - c₁₄ = 0, 0+q₄ -1 = 0, q₄ = 4

₁₅ = 0, p₁ + q₅ – c₁₅ = 0, 0+q₅ -0 = 0, q₅ = 0

₂₁ = 0, p₂ + q₁ - c₂₁ = 0, 0+q₁ -1 = 0, q₁ = 1

₂₂ = 0, p₂ + q₂ – c₂₂ = 0, p₂+1 -1 = 0, p₂ = 0

₂₃ = 0, p₂ + q₃ – c₂₃ = 0, 0+q₃ -3 = 0, q₃ = 3

₃₃ = 0, p₃ + q₃ – c₃₃ = 0, p₃+3 -3 = 0, p₃ = 0

Затем по формуле вычисляем оценки всех свободных клеток:

₁₁ = p₁ + q₁ – c₁₁ = 0+1-4 = -3

₁₃ = p₁ + q₃ – c₁₃ = 0+3-3 = 0

₂₄ = p₂ + q₄ – c₂₄ = 0+1-2 = -2

₂₅ = p₂ + q₅ – c₂₅ = 0+0-0 = 0

₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ = 0+1-5 = -4

₃₂ = p₃ + q₂ – c₃₂ = 0+1-2 = -1

₃₃ = p₃ + q₃ – c₃₃ = 0+1-5 = -4

₃₅ = p₃ + q₅ – c₃₅ = 0+0-0 = 0

Находим наибольшую положительную оценку

max () =НЕТ

Читателю не составит труда проверить, что будет оптимальным базисное допустимое решение.

0 49 0 32

X = 48 26 1 0

0 0 40 0