Глава 4
.rtfЗадача 163. Вкладчик банка вносит на счет 15 тыс. рублей. При этом он намерен в течение четырех последующих лет вносить такую же сумму к началу каждого года с тем, чтобы к концу пятого года сумма на его счете составила 100 руб. При каком банковском (сложном) проценте это условие будет выполнено? Банк начисляет проценты один раз в год в конце года.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
|
Задача № |
X1 |
X2 |
X3 |
|
1 |
[ -2; -1 ] |
[ 0; 1 ] |
[ 1; 2 ] |
|
2 |
[ -4; -3 ] |
[ 0; 1.7 ] |
[ 2; 3 ] |
|
3 |
[ -1; -0.5 ] |
[ 0; 0.5 ] |
[ 0.5; 1 ] |
|
4 |
[ -1; -0.5 ] |
[ 0; 0.5 ] |
[ 0.5; 1 ] |
|
5 |
[ -1; 0 ] |
[ 0.67; 1.33] |
[ 1.33; 2 ] |
|
6 |
[ -1; 0 ] |
[ 0; 0.5 ] |
[ 1; 2 ] |
|
7 |
[ -3; -2 ] |
[ -2; -1 ] |
[ 0; 1 ] |
|
8 |
[ -2; -0.8 ] |
[ -0.8; 0 ] |
[ 0; 1 ] |
|
9 |
[ -2; -1 ] |
[ 0; 1 ] |
[ 1; 2 ] |
|
10 |
[ -4; -3 ] |
[ 0; 1 ] |
[ 2; 3 ] |
|
11 |
[ -1; -0.5 ] |
[ 0; 0.5 ] |
[ 0.5; 1 ] |
|
12 |
[ -1; -0.5 ] |
[ 0; 0.5 ] |
[ 0.5; 1 ] |
|
13 |
[ -1; 0 ] |
[ 0; 0.67 ] |
[ 1.33; 2 ] |
|
14 |
[ -1; 0 ] |
[ 0.5; 1 ] |
[ 1; 2 ] |
|
15 |
[ -3; -2 ] |
[ -1; 0 ] |
[ 0; 1 ] |
|
16 |
[ -2; -1 ] |
[ -0.4; 0 ] |
[ 0; 1 ] |
|
17 |
[ -1; 0 ] |
[ 0.33; 0.67 ] |
[ 0.67; 1] |
|
18 |
[ -9; -8 ] |
[ -1; 0 ] |
[ 0; 1 ] |
|
19 |
[ -2; -1.34 ] |
[ -1.34; 0 ] |
[ 0; 0.67 ] |
|
20 |
[ -1; -0.33 ] |
[ 0; 0.33 ] |
[ 0.33; 1 ] |
|
21 |
[ -3; -2 ] |
[ 0; 1 ] |
[ 1; 2 ] |
|
22 |
[ -5; -4 ] |
[ 0; 2.23 ] |
[ 3; 4 ] |
|
23 |
[ -2; -1 ] |
[ 0; 0.58 ] |
[ 0.58; 1 ] |
|
24 |
[ -2; -1 ] |
[ 0; 0.5 ] |
[ 3; 4 ] |
|
25 |
[ 0; 0.5 ] |
[ 0.5; 1 ] |
[ 2; 3 ] |
|
26 |
[ -7; -6 ] |
[ 0; 0.5 ] |
[ 5; 6 ] |
|
27 |
[ -2; -1] |
[ 0.21; 1 ] |
[ 1; 2 ] |
|
Задача № |
X1 |
X2 |
X3 |
|
28 |
-0.46096 |
0.74085 |
1.2201 |
|
29 |
-2.8794 |
-0.6527 |
0.53209 |
|
30 |
-1.1913 |
-0.29547 |
0.23675 |
|
31 |
-0.29313 |
0.4491 |
0.84403 |
|
32 |
-8.9247 |
-0.85846 |
0.78314 |
|
33 |
-1.7925 |
-0.72235 |
0.51487 |
|
34 |
-0.63867 |
0.15376 |
0.4849 |
|
35 |
-2.2597 |
0.71724 |
1.5425 |
|
36 |
-4.2239 |
0.83943 |
3.3844 |
|
37 |
-1.1072 |
0.26959 |
0.83757 |
|
38 |
-1.8881 |
0.1216 |
3.2665 |
|
39 |
0.19774 |
0.86839 |
2.1839 |
|
40 |
-6.9721 |
0.4264 |
5.0457 |
|
41 |
-1.3633 |
0.69126 |
1.2708 |
|
42 |
-1.9422 |
0.55788 |
1.3844 |
|
43 |
-3.3318 |
0.84476 |
2.4871 |
|
44 |
-0.93969 |
0.17365 |
0.76604 |
|
45 |
-0.9207 |
0.28456 |
0.63613 |
|
46 |
-0.51487 |
0.72235 |
1.7925 |
|
47 |
-0.28305 |
0.3529 |
1.4302 |
|
48 |
-2.5321 |
-1.3473 |
0.87939 |
|
49 |
-1.1565 |
-0.37878 |
0.28533 |
|
50 |
-1.81 |
0.16825 |
1.6418 |
|
51 |
-3.2015 |
0.4549 |
2.7466 |
|
52 |
-0.92626 |
0.13674 |
0.78952 |
|
53 |
-0.90245 |
0.21488 |
0.68757 |
|
54 |
-0.45161 |
0.59697 |
1.8546 |
Задача 55. Пусть
f(x) = x3 - 5x + 1.
Тогда
f (x) = 3x2 – 5, f (x) = 6x .
По формуле Ньютона имеем
n+1 = n – ( n3 - 5 n + 1) / ( 3 n2 - 5 ) .
Составим таблицу значений функции:
|
X |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
f(x) |
-11 |
3 |
5 |
1 |
-3 |
-1 |
13 |
Из таблицы видно, что уравнение x3 - 5x + 1 = 0 имеет корни на отрезках [ -3; -2 ], [ 0; 1 ], [ 2; 3 ].
Найдем вначале корень, лежащий на отрезке [ -3; -2 ]. Так как на этом отрезке f (x) < 0, то в качестве начального значения берем
0 = -3 (поскольку f (0 ) = -11 – отрицательное число). Имеем
1 = -3 – ((-3)3 – 5(-3) + 1) / ( 3(-3)2 – 5) = 2.5.
Продолжая вычисления, находим, что 3 = 4 - 2.331. Получаем, что с точностью до 0.001 корень уравнения на отрезке
[ -3; -2 ] равен - 2.331.
Теперь найдем корень, лежащий на отрезке [ 0; 1 ]. Здесь мы имеем f (x) 0. Поэтому полагаем 0 = 0. Отсюда получаем
1 = 0 – ( 0 3 – 5·0 + 1) / ( 3·0 2 – 5) = 0.2 , 3 = 4 = 0.202.
С точностью до 0.001 имеем x = 0.202.
Наконец, для нахождения корня на отрезке [ 2; 3 ] полагаем 0 = 3 и имеем
1 = 3 – ( 3 3 – 5·3 + 1) / ( 3·3 2 – 5) 2.409.
Продолжая вычисления, находим, что 4 = 5 2.128. Поэтому с точностью до 0.001 корень равен 2.128. Таким образом, мы нашли три корня: x1 = - 2.331; x2 = 0.202; x 3 = 2.128.
Решим это же уравнение методом хорд. На отрезке [ -3; -2 ] находим
1 = -3 – f (-3) * ( -3 – ( - 2)) / (f (-3) – f (-2))=-3 + 11*(-3)/(-14) -2.214
На этом отрезке кривая выпукла вверх, и мы определяем 2
по формуле
2 = -3 – f (-3) · ( -3 – ( - 2.214)) / (f (-3) – f (-2.214)) -2.293.
Далее находим
3 = -2.293 – f (-2.293)·( -2.293 +2.214) / (f (-2.293)–f (-2.214))-2.231.
Это совпадает с точностью до 0.001 с ранее найденным значением x.
Точно так же решаем уравнение на отрезках [0; 1 ] и [ 2; 3 ].
Задача 56. Здесь имеем
f(x) = x3 – 9x2 + 20x – 11 ,
f (x) = 3x2 – 18x + 20,
f (x) = 6x – 18 = 6(x – 3) .
Составим таблицу значений функции:
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
f(x) |
-11 |
1 |
1 |
-5 |
-11 |
-11 |
1 |
Корни уравнения лежат на отрезках [ 0; 1 ], [ 2; 3 ], [ 5; 6 ].
На отрезке [ 0; 1 ] полагаем 0 = 0 и находим, что 4 5 0.834. На отрезке [ 2; 3 ] полагаем 0 = 3 и находим, что 2 3 2.216.
На отрезке [ 5; 6 ] полагаем 0 = 5 и находим, что 4 5 5.249. Итак, мы нашли (с точностью до 0.001) три корня уравнения
x1 = 0.834; x 2 = 2.216; x 3 = 5.249.
Задача 57. Здесь f(x) = x3 – 3x2 – 3x + 11,
f (x) = 3x2 – 6x – 3,
f (x) = 6x – 6 = 6(x – 1) .
Составим таблицу значений для f(x):
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
f(x) |
-3 |
10 |
11 |
6 |
1 |
2 |
Уравнение имеет один вещественный корень, лежащий на отрезке
[-2; -1 ]. Чтобы найти этот корень, полагаем 0 = -2. Получим, что
2 3 -1.847. Поэтому с точностью до 0.001 имеем x = 0.834.
Задача 58. Здесь f(x) = x5 + 5x + 1,
f (x) = 5x4 + 5,
f (x) = 20 x3.
Таблица значений для f(x):
|
x |
-1 |
0 |
1 |
|
f(x) |
-5 |
1 |
7 |
Таким образом, уравнение имеет один вещественный корень, лежащий на отрезке [-1; 0 ]. Полагаем 0 = -1. Имеем с точностью до 0.0001 3 4 -0.1999. Поэтому с требуемой в условии точностью x = 0.200.
Задача 59. f(x) = sin x + x - 1,
f (x) = cos x + 1,
f (x) = - sin x.
Таблица значений для f(x):
|
x |
0 |
1 |
2 |
|
f(x) |
-1 |
0.8115 |
1.9093 |
Следовательно, единственный корень уравнения принадлежит отрезку [0; 1 ]. Полагаем 0 = 0 и находим 2 = 3 = 0.5110. Имеем с точностью до 0.001 x = 0.511.
Задача 60. Здесь f(x) = x2 – 10 lg x – 3,
f (x) = 2x – 10/ x ln10,
f (x) = 2 + 10 / x2 ln10.
Таблица значений функции f(x):
|
x |
0.5 |
1 |
2 |
3 |
|
f(x) |
0.26 |
-2 |
-2.01 |
1.23 |
Корни уравнения лежат на отрезках [ 0.5; 1 ] и [ 2; 3 ]. На отрезке [ 0.5; 1 ] полагаем 0 = 0.5 и получаем, что 2 = 3 0.535. Поэтому соответствующий корень с точностью до 0.001 равен 0.535. На отрезке [ 2; 3 ] полагаем 0 = 3 и находим 2 3 2.705.
Уравнение имеет два корня: x1 = 0.535 и x 2 = 2.705.
|
Задача № |
X1 |
X2 |
X3 |
|
55 |
-2.331 |
0.202 |
2.409 |
|
56 |
0.834 |
2.216 |
5.249 |
|
57 |
-1.847 |
— |
— |
|
58 |
-0.200 |
— |
— |
|
59 |
0.511 |
— |
— |
|
60 |
0.535 |
2.705 |
— |
|
61 |
-1.942 |
0.558 |
1.384 |
|
62 |
-3.332 |
0.845 |
2.487 |
|
63 |
-0.940 |
0.174 |
0.766 |
|
64 |
-0.921 |
0.285 |
0.636 |
|
65 |
-0.515 |
0.722 |
1.793 |
|
66 |
-0.283 |
0.353 |
1.430 |
|
67 |
-2.532 |
-1.347 |
0.879 |
|
68 |
-1.157 |
-0.379 |
0.285 |
|
69 |
-1.810 |
0.168 |
1.642 |
|
70 |
-3.202 |
0.455 |
2.747 |
|
71 |
-0.926 |
0.137 |
0.790 |
|
72 |
-0.902 |
0.215 |
0.688 |
|
73 |
-0.452 |
0.597 |
1.855 |
|
74 |
-0.461 |
0.741 |
1.220 |
|
75 |
-2.879 |
-0.653 |
0.532 |
|
76 |
-1.191 |
-0.295 |
0.237 |
|
77 |
-0.293 |
0.449 |
0.844 |
|
78 |
-8.925 |
-0.858 |
0.783 |
|
79 |
-1.793 |
-0.722 |
0.515 |
|
80 |
-0.639 |
0.154 |
0.485 |
|
81 |
-2.260 |
0.717 |
1.543 |
|
82 |
-4.224 |
0.839 |
3.384 |
|
83 |
-1.107 |
0.270 |
0.838 |
|
84 |
-1.888 |
0.122 |
3.267 |
|
85 |
0.198 |
0.868 |
2.184 |
|
86 |
-6.972 |
0.426 |
5.046 |
|
87 |
-1.363 |
0.691 |
1.271 |
|
Задача № |
X1 |
X2 |
X3 |
|
88 |
-1.7925 |
-0.72235 |
0.51487 |
|
89 |
-0.63866 |
0.15376 |
0.4849 |
|
90 |
-2.2597 |
0.71725 |
1.5425 |
|
91 |
-4.2239 |
0.83943 |
3.3844 |
|
92 |
-1.1072 |
0.26959 |
0.83757 |
|
93 |
-1.8881 |
0.1216 |
3.2665 |
|
94 |
0.19774 |
0.86839 |
2.1839 |
|
95 |
-6.9721 |
0.4264 |
5.0457 |
|
96 |
-1.3633 |
0.69126 |
1.2708 |
|
97 |
-1.9422 |
0.55788 |
1.3844 |
|
98 |
-3.3318 |
0.84476 |
2.487 |
|
99 |
-0.93969 |
0.17365 |
0.76604 |
|
100 |
-0.9207 |
0.28457 |
0.63613 |
|
101 |
-0.51487 |
0.72235 |
1.7925 |
|
102 |
-0.28305 |
0.3529 |
1.4302 |
|
103 |
-2.5321 |
-1.3473 |
0.87938 |
|
104 |
-1.1566 |
-0.37878 |
0.28533 |
|
105 |
-1.81 |
0.16826 |
1.6418 |
|
106 |
-3.2015 |
0.4549 |
2.7466 |
|
107 |
-0.92626 |
0.13674 |
0.78952 |
|
108 |
-0.90245 |
0.21488 |
0.68756 |
|
109 |
-0.4516 |
0.59697 |
1.8546 |
|
110 |
-0.46096 |
0.74085 |
1.2201 |
|
111 |
-2.8794 |
-0.6527 |
0.53209 |
|
112 |
-1.1913 |
-0.29547 |
0.23675 |
|
113 |
-0.29313 |
0.4491 |
0.84403 |
|
114 |
-8.9247 |
-0.85846 |
0.78313 |
|
Задача № |
X1 |
X2 |
X3 |
|
115 |
0.466 |
— |
— |
|
116 |
-2.325 |
— |
— |
|
117 |
-0.984 |
4.870 |
— |
|
118 |
1.000 |
3.353 |
— |
|
119 |
1.516 |
— |
— |
|
120 |
1.225 |
— |
— |
|
121 |
0.877 |
— |
— |
|
122 |
-0.927 |
0 |
0.927 |
|
123 |
0.342 |
— |
— |
|
124 |
0.739 |
— |
— |
|
125 |
-2.074 |
— |
— |
|
126 |
1.088 |
— |
— |
|
127 |
-0.440 |
— |
— |
|
128 |
0 |
0.747 |
— |
|
129 |
1.841 |
— |
— |
|
130 |
1.557 |
— |
— |
|
131 |
-1.492 |
— |
— |
|
132 |
1.372 |
10.000 |
— |
|
133 |
3.654 |
6.984 |
— |
|
134 |
0.091 |
— |
— |
|
135 |
-1.942 |
0.558 |
1.384 |
|
136 |
-3.332 |
0.845 |
2.487 |
|
137 |
-0.940 |
0.174 |
0.766 |
|
138 |
-0.921 |
0.285 |
0.636 |
|
139 |
-0.515 |
0.722 |
1.793 |
|
140 |
-0.283 |
0.353 |
1.430 |
|
141 |
-2.532 |
-1.347 |
0.879 |
|
142 |
-1.157 |
-0.379 |
0.285 |
|
143 |
-1.810 |
0.168 |
1.642 |
|
144 |
-3.202 |
0.455 |
2.747 |
|
145 |
-0.926 |
0.137 |
0.790 |
|
146 |
-0.902 |
0.215 |
0.688 |
|
147 |
-0.452 |
0.597 |
1.855 |
|
148 |
-0.461 |
0.741 |
1.220 |
|
149 |
-2.879 |
-0.653 |
0.532 |
|
150 |
-1.191 |
-0.295 |
0.237 |
|
151 |
-0.293 |
0.449 |
0.844 |
|
152 |
-8.925 |
-0.858 |
0.783 |
|
153 |
-1.793 |
-0.722 |
0.515 |
|
154 |
-0.639 |
0.154 |
0.485 |
|
155 |
-2.260 |
0.717 |
1.543 |
|
156 |
-4.224 |
0.839 |
3.384 |
|
157 |
-1.107 |
0.270 |
0.838 |
|
158 |
-1.888 |
0.122 |
3.267 |
|
159 |
0.198 |
0.868 |
2.184 |
|
160 |
-6.972 |
0.426 |
5.046 |
|
161 |
-1.363 |
0.691 |
1.271 |
|
162 |
0.198 |
— |
— |