3.1. Дискретное преобразование Фурье
Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называется пара взаимно однозначных преобразований – дискретных рядов Фурье:
- прямое ДПФ (Discrete Fourier Transform – DFT) – дискретный ряд Фурье в частотной области:
- обратное ДПФ (ОДПФ) (Inverse Discrete Fourier Transform – IDFT) – дискретный ряд Фурье во временной области:
где:
n – дискретное нормированное время n=nT/T;
k – дискретная нормированная частота k=k∆ω/∆ω, а ∆ω – период дискретизации по частоте, который при частоте дискретизации ωд=2π/T равен:
x(n), n=0,1,…,N-1 – N-точечная последовательность – периодическая последовательность с периодом N в области дискретного нормированного времени;
X(k), k=0,1,…, N-1 – N-точечное ДПФ – периодическая последовательность с периодом N в области дискретной нормированной частоты;
-поворачивающий
множитель:
–k-я
дискретная гармоника.
ДПФ (3.1.1) трактуется по-разному, в зависимости от вида последовательности x(n) – периодическая с периодом N или конечная длины N.
Для периодической последовательности x(n) с периодом N ДПФ (3.1.1) представляет собой алгоритм вычисления ее спектра (с точностью до постоянного множителя 1/N).
Для конечной последовательности x(n) длины N ДПФ (3.1.1) представляет собой алгоритм вычисления ее спектральной плотности X(ejωT) (с точностью до постоянного множителя 1/N) в N дискретных точках на периоде ωд:
при этом по N-точечному ДПФ гарантируется точное восстановление непрерывной спектральной плотности X(ejωT), по крайней мере, теоретически. В обоих случаях при вычислениях по формулам (3.1.1) - (3.1.2) общепринято N называть длиной последовательности и ДПФ.
Для вещественных последовательностей x(n) модуль ДПФ является четной функцией дискретной нормированной частоты k:
(3.1.3)
а аргумент arg{X(k)} – нечетной:
При вычислении с помощью ДПФ модуля спектра (модуля спектральной плотности) вещественной последовательности постоянный множитель равен:
(3.1.4)
Для комплексных последовательностей постоянный множитель равен 1/N. Если с помощью ДПФ рассчитывается спектр Xa(k) периодического аналогового сигнала x(t), то следует помнить, что точный расчет возможен только при финитном спектре, расположенном в области:
Аналогично если с помощью ДПФ рассчитывается спектральная плотность Xa(jω) непериодического аналогового сигнала x(t), то точный расчет возможен только при финитной спектральной плотности, расположенной в области:
.
В противном случае, при расчете с помощью ДПФ спектра (спектральной плотности) в ДПФ будет иметь место наложение спектров в области дискретных нормированных частот k=mN/2, m=…,-3,-1,0,1,3,…, а, следовательно, в спектре (спектральной плотности) появятся необратимые искажения в области верхних частот.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3.2.
Определить ДПФ последовательности {1,0,0,1}
х(0)=1 ; х(Т)=0 ; х(2Т)=0; х(3Т)=1; период N=4.
Решение: по формуле:
где
иn
= 0,…, N-1.,
определяем
:
,
Подставляя значения номера гармоник k, получаем:
k=0 : x(0)=х(0)+х(1)W-k+х(2)W-2k+х(3)W-3k = x(0)+x(1)+x(2)+x(3)=1+0+0+1=2
k=1 :x(1) = 1+i;
k=2 : x(2) =1-1=0;
k=3 : x(3) =1-i;
ДПФ последовательности имеет вид: {2, 1+i, 0, 1-i}
Определить ОДПФ для последовательности {2, 1+i, 0, 1-i}.
Решение:
по формуле :
определяем
ОДПФ для всех значений n:
n=0:
= 1/4[x(0)+x(1)+x(2)+x(3)]=1/4[2+(1+i)+0+(1-i)]=1
=
1/4(2+i-1-i-1) = 0,
1/4[2-(1+i)-(1-i)]
= 0,
1/4(2-i+1+i+1)
= 1,
таким
образом,
= {1,0,0,1}.
Пример показывает, что дискретное преобразование Фурье является однозначным преобразованием.
Проверить приведенный пример с помощью функций fft и ifft.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3.3