1. Рекурсивные фильтры

Если уравнение фильтрации имеет общий вид

то есть содержит как входные, так и выходные отсчеты, для реализации такого фильтра в схему нерекурсивного фильтра необходимо добавить вторую линию задержки – для хранения выходных отсчетов y(k-i). Получающаяся при этом структура показана на рис. 6.1.1.

Рис. 6.1.1. Структурная схема рекурсивного фильтра– прямая реализация

Так как при вычислениях используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме присутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называют рекурсивными (recursive).

Импульсная характеристика рекурсивного фильтра рассчитывается значительно сложнее, чем для нерекурсивного. Рассмотрим формирование лишь нескольких первых ее отсчетов. При поступлении на вход единичного импульса он умножается на b₀ и проходит на выход. Таким образом,

Далее входной единичный импульс попадает во входную линию задержки, а выходной отсчет, равный b₀, - в выходную линию задержки. В результате второй отсчет импульсной характеристики будет формироваться как

Продолжив рассмотрение перемещения входного единичного импульса вдоль входной линии задержки и заполнения выходными отсчетами выходной линии задержки, можно получить

=

.

Видно, что по мере того, как выходная линия задержки заполняется отсчетами импульсной характеристики, сложность аналитических формул быстро возрастает.

Наличие в схеме обратных связей позволяет получить бесконечную импульсную характеристику, поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтрами; английский термин – infinite impulse response, IIR). По этой же причине рекурсивные фильтры могут быть неустойчивыми.

2. Свойства бих-фильтров

БИХ-фильтр описывается передаточной функцией общего вида:

(6.1.1)

и при (N-1) ≤ (M-1) (по умолчанию) имеет порядок R=(M-1).

Сложность БИХ-фильтра определяется порядком R передаточной функции.

БИХ-фильтры характеризуются следующими особенностями:

● существенно нелинейная ФЧХ;

● необходимость проверки на устойчивость.

2. Задание требований к частотным характеристикам бих-фильтров и процедура синтеза

При синтезе частотно-избирательных БИХ-фильтров с существенно нелинейной ФЧХ последняя обычно не контролируется, и требования задаются к АЧХ. Они не отличаются от требований к АЧХ КИХ-фильтров, за тем исключением, что для рассматриваемых далее методов синтеза значение АЧХ в полосе пропускания не должно превышать единицы. Кроме того, для БИХ-фильтров требования задаются к АЧХ (дБ) и включают в себя:

◊ частоту дискретизации f_д (Гц);

◊ граничные частоты полос пропускания (ПП) и полос задерживания (ПЗ), для которых введены условные обозначения:

● f_χ – граничная частота ПП для ФНЧ и ФВЧ;

● fk – граничная частота ПЗ для ФНЧ и ФВЧ;

● f-χ, fχ – левая и правая граничные частоты ПП для ПФ и РФ;

● f-k, fk – левая и правая граничные частоты ПЗ для ПФ и РФ;

◊ допустимые отклонения от (f) (дБ):

● amax (дБ) – максимально допустимое затухание в ПП;

● amin (дБ) – минимально допустимое затухание в ПЗ.

В данной лабораторной работе рассматривается синтез БИХ-фильтров в MATLAB методами на основе аналоговых фильтров-прототипов (АФП):

◊ метод инвариантности импульсной характеристики (стандартного Z-преобразования);

◊ метод билинейного Z-преобразования.

Идея синтеза БИХ-фильтров на основе АФП возникла из желания воспользоваться давно известными и хорошо себя зарекомендовавшими методами синтеза аналоговых фильтров. Обоснование такой возможности вытекает из следующего:

◊ передаточные функции АФП и БИХ-фильтров – дробно-рациональные;

◊ импульсные характеристики АФП и БИХ-фильтров – бесконечные.

Процедура синтеза ЦФ на основе АФП включает в себя:

1. Задание требований к АЧХ ЦФ.

2. Выбор метода синтеза.

3. Формирование требований к АЧХ АФП.

Значения граничных частот АФП, в зависимости от метода синтеза ЦФ, могут совпадать либо не совпадать с граничными частотами ЦФ.

4. Выбор типа аппроксимирующей функций соответствуют четыре разновидности аналоговых (и цифровых) фильтров:

● Баттерворта (Butterwhorth) – с АЧХ, максимально плоской в ПП и монотонной в ПЗ;

● Чебышева I рода (Chebyshov Type I) – с АЧХ, равноволновой в ПП и монотонной в ПЗ;

● Чебышева II рода (Chebyshov Type II) – с АЧХ, максимально плоской в ПП и равноволновой в ПЗ;

● Золотарева-Кауэра (эллиптические фильтры) (Eleptic) – с АЧХ, равноволновой в ПП и ПЗ.