Корреляционный анализ переменных модели.

Так как многие из переменных связаны друг с другом балансовыми и функциональными соотношениями, то парные коэффициенты корреляции могутбыть искажены опосредованным влиянием третьих факторов на переменные, взаимная корреляция которых рассматривается. В нашем случае, например, степень взаимосвязи экзогенных переменных - G и T, может быть обусловлена влиянием на них третьего фактора – времени. Чтобы исключить влияние «третьих» переменных на взаимосрязь рассматриваемых показателей, рассмотрим матрицу частных коэффициентов корреляции:

- Частный коэфф. Корреляции между x_i и x_j при фиксированных значениях других переменных. R – корреляционная матрица. R_ks – Алгебраическое дополнение для элемента r_ks в следующей матрице:

; То есть в матрице определителя R;

В случе

Рассмотрим матрицу коэффициентов, приведенную в приложении:

Запись Показатель А = F(Показатель Б) будет означать, что показатель А значимо зависит от показателя Б.

Получены слудующие зависимости:

Y = F(Ni,Tax); Уравнение модели: Y=Ni+Tax;

Lf = F(Et,Un); Уравнение модели: Lf=Et+Un;

Un = F(Et,Lf); --//--

Et = F(Lf;Un); --//--

Wg = F();

Tax = F(Ni,Y);

C = F(K,M,Pi);

Pi = F(C,M,K);

G = F(); T = F(); Ir = F(); N = F();

M = F(C,Pi);

K = F(C,Pi)

Ex = F(); Im = F();

По матрице частных коэффициентов корреляции в нашем случае сказать что либо достаточно трудо – в матрице очень малое колличество переменных имеют коэффициенты r по модулю большие хотя бы 0,7 (их можно было бы признать существенными).

Построение модели: Y_t = F₁(t; K; Et_t);

Динамическая степенная ПФ:

1) LnY = -22,7412 + 3,11716*LnK + 1,88105*LnEt - 0,0817731*Year

Yt = 0,000000000133K_t^3,11716Et_t^1,88105e^{- 0,0817731*t};

2) LnY = 0,787335*LnK + 0,467592*LnEt - 0,0215897*Year

Y_t = K_t^0,787335Et_t^0,467592e^{- 0,0215897*t};

Динамическая линейная ПФ:

Y_t = 1,283204e^-0,017497*t(0,773006K_t + 8,653501Et_t);

Y_t = 0,006145(e^-0,026858*t187,7620K_t + 1351,698Et_t);

Y_t = 3,055209(-0,036528K_t + e^0,216465*t5,837224Et_t) – Эластичность по капиталу. отрицательная – следовательно даппая ПФ не имеет экономической интерпритации и рассматриваться не будет.

Данные модели имеют степень объясненной вариации 71,227%, 66,605% и 9,6325% соответственно – это относительно низмий показатель. Поэтому в сравнительную таблицу их включать не будем.

Динамичаская ПФ Кобба-Дугласа:

Ln(Y) = Ln(A) + bt + aLn(K) + (1-a)Ln(Et);

Ln(Y) = Ln(A) + bt + aLn(K) + Ln(Et) – aLn(Et);

[Ln(Y) – Ln(Et)] = Ln(A) + bt + a[Ln(K) – Ln(Et)];

LnYsLnEt = 1,54177 + 0,631046*LnKsLnEt - 0,0174972*Year;

LnYsLnEt = 1,15749*LnKsLnEt - 0,0188475*Year; - Коэффициент при [Ln(K) – Ln(Et)] ,больше 1, следовательно данная функция не имеет смысла (эластичность ро труду будет отрицательна).

[Ln(Y) – Ln(Et)] = 1,54177 - 0,0174972t + 0,631046[Ln(K) – Ln(Et)];

Y_t = 4,673e^{- 0,0174972*t}K_t^0,631046Et_t^1-0,631046; процент объясненной вариации 73,732% - модель не расматриваем.

CES:

3)

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	0,00222325	97,4093	301,80
2	0,00735974	99,9999	8942829,58
3	0,00781754	99,5792	2840,75

В сем нашим требованиям удовлетворяет модель 2: лучший показатель по R² и F-критерию, а S² ровно того же порядка, что и у модели 1, которая является лучшей по данному показателю. Выбор:

Y_t = K_t^0,787335Et_t^0,467592e^{- 0,0215897*t};

Построение модели: C_t = F(Ni_t; Ir_t);

C_t = 0,771834*Ni_t + 162,552*Ir_t; - незначимы параметры.

C_t = 308,159 + 0,618192*Ni_t + 115,542*Ir_t – незначимы параметры.

1. C_t = 329,562 + 0,637601*Ni_t – 0,637601*Ir_t;

2. C_t = 0,815355*Ni_t – 0,815355*Ir_t;

3. C_t – Ir_t = 329,378 + 0,637434*(Ni_t – Ir_t)

4. C_t – Ir_t = 0,815089*(Ni_t – Ir_t)

Ln(C_t) = 1,64171 + 0,758216*Ln(Ni_t) + 0,0376807*Ln(Ir_t) - незначимы параметры.

Ln(C_t )= 0,973598*Ln(Ni_t) + 0,00803059*Ln(Ir_t )- незначимы параметры.

5. C_t = 920,524 + 0,000171955*(Ni_t – Ir_t)²

6. C_t = 0,000439632*(Ni_t – Ir_t)²

7. C = 329,372 + 0,637534*Ni_t;

C_t = 250,112 + 0,618177*Ni_t + 70,2568*exp(Ir_t) - незначимы параметры.

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	5,05965	89,1568	198,34
2	6,40144	99,9983	1393957,68
3	5,05542	89,1679	198,56
4	6,39681	99,9983	1395067,48
5	5,05139	89,1921	199,06
6	23,1861	99,9774	106232,61
7	5,05695	89,1683	198,57

Модели 2, 4 имеют практически одинаковый R², но модель 2 имеет лучшую экономическую интерпритацию параметра при Ir_t. Таким образом:

C_t = 0,815355*Ni_t – 0,815355*Ir_t;

Построение модели: Lf_t = F4(Wg_t; Pi_t; N_t);

Lf_t = 47,6928 - 2,963*Wg_t + 0,655993*Pi_t + 0,679903*N_t; - параметры незначимы.

1. Lf_t = -1,7847*Wg_t + 0,621109*Pi_t + 0,892769*N_t;

2. Lf_t = 0,849842*N_t;

3. Lf_t = 4,04705*Wg_t;

4. Lf_t = 0,746535*Wg_t + 1,31436*Pi_t;

5. Lf_t = 0,287293*N_t + 1,065*Pi_t;

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	2,32676	99,9391	13131,54
2	6,8613	99,4705	4508,82
3	2,71311	98,0014	1176,84
4	3,01168	99,898	11751,92
5	2,71311	99,9184	14089,90

Пользуясь нашим критерием выбираем модель 4:

Lf_t = 0,746535*Wg_t + 1,31436*Pi_t; (Она имеет хорошую экономическую интепретацию. R² примерно одинаков с моделью 1)

Построение модели: I_t = F5(Y_t; Y_t-1; Ir_t; T_t; K_t; K_t-1; t);

Первая зависимость, которую можно было бы рассмотреть следующая:

I_t = K_t – K_t-1 = A_k(Y_t –Y_t-1) – представляет собой модель акселератора. Такая зависимость была постулирована Дж. Кларком и применима в основном к эконмике. Характеризуемой достаточно высокими положительными темпами роста. В нашем же случае (см выше) такого роста не наблюдается – следовательно динамика ВНД плохо описывает поведение инвестиций. Это можно проверить и фактически:

I_t = 2,53649*(Y_t –Y_t-1) – эта модель незначима (и имеет R²=0,558082).

1. I_t = 0,75354*(K_t – K _t-1) + 7355,39*T_t + 16,2516*t;

2. I_t = 0,999886*K_t - 0,447659*K_t-1;

I_t = 529,012 + 794,296*Ir_t – оценки обоих параметров незначимы.

3. I_t = 1864,36*Ir_t

4. I_t = 0,449596*Y_t – 0,449596*Ir_t;

5. I_t = 1819,06-1819,06*Ir;

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	41,5817	99,8125	4081,24
2	35,5741	99,8627	8367,46
3	129,693	98,1333	1261,68
4	137,449	97,9034	1120,68
5	133,831	98,0123	1183,41

Лучшей модулью по всем трем характеристикам является модель 2, однако наилучшую экономическую интепритацию имеет модель 5, при близком значении R²:

I_t = 1819,06-1819,06*Ir;

Построение модели: Wg_t = F(Lf_t; Pi_t; t);

Wg_t = 30,2542 – 0,0868082*Lf_t + 0,272109*dPi_t + 0,0490221*t – незначим параметр при t.

Wg_t = 0,324346*Lf_t + 0,29431*dPi_t – 0,526409*t – незначим параметр при (Pi_t – Pi_t-1)=Pi_t;

1. Wg_t = 27,9874 – 0,0551147*Lf_t + 0,272892* (Pi_t – Pi_t-1);

Wg_t = 0,245216*Lf_t + 0,372763*dPi_t – незначим параметр при (Pi_t – Pi_t-1)=Pi_t;

2. Wg_t = 28,4983 – 0,0886835*Lf_t – 0,250349*Pi_t + 0,295873*Pi_t-1;

3. Wg_t = 23,9571 + 0,278666*(Pi_t – Pi_t-1) – 0,0557454*(Lf_t – Lf_t-1) - 0,072104*t

Wg_t = 4,52429*(Pi_t – Pi_t-1) + 0,127591*(Lf_t – Lf_t-1) + 0,967618*t; - незначимы оценки параметров при dPi и dLf;

Wg_t = 23,1088 - 0,0674988*(Lf_t – Lf_t-1) + 0,371439*(Pi_t – Pi_t-1); - незначима оценка параметра при dLf, неудовлетворительный R²;

Wg_t = 0,627861*(Lf_t – Lf_t-1) - 11,7311*(Pi_t – Pi_t-1); - незначима оценка параметра при dLf;

Wg_t = 35,7998 – 0 ,0843336*Lf_t – 0,143561*Pi_t + 0,208362*t - незначима оценка параметра при Pi и t;

Wg_t = 28,2693 - 0,263637*Pi_t + 0,281435*Pi_t-1 - 0,0894237*Lf_t + 0,0198463*Lf_t-1 + 0,00525598*t; - назначимы оценки при Lf_t-1 и t;

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	0,325805	80,4076	48,20
2	0,317084	81,4425	34,65
3	0,34627	77,869	27,98

Модели 1 и 2 имеют близкие характеристики, одноко модель 1 имеет лучшую экономическую интерпритацию коэффициента при dPi_t – при росте цен из года в год рабочие будут требовать повышения з\п. Следовательно выбираем модель:

Wg_t = 27,9874 – 0,0551147*Lf_t + 0,272892* (Pi_t – Pi_t-1);

Построение моделей: Ex_t = F(Y_t) и Im_t = F(C_t);

Модели экспорта.

Ex_t = -91,6223 + 0,134478*Y_t – незначима оценка параметра a0.

1. Ex_t = -365,75 + 12,1435*(Y_t)

2. Ex_t = 9334,45-9,0818*Yt + 0,00225238*Y_t²;

Ex_t = (3,44176 + 0,00493833*Y_t)² – незначима оценка параметра a0.

3. Ex_t = 0,0897303*Y_t;

Прочие модели зависимости так же как и первые 2-е имеют неприемлемо низкий R² порядка 50%.

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	3,85078	50,3093	23,29
2	3,42345	59,0184	18,28
3	3,9698	99,9552	53538,94

Выбираем модель 3:

Ex_t = 0,0897303*Y_t; - данная модель легко интерпритируема – средняя доля экпрорта по отношению к ВНД составляет 8,97%.

Модели импорта.

Как видно из сравнительной таблици в приложении большенство моделей Im_t=F(C_t) имеет низкий R²;

В модели Im_t = 2871,1-3,76366*C_t + 0,00130618*C_t²; – незначимыми являются оценки всех параметров.

Единственно приемлемой моделью является следующая:

Im_t = 0,110336*C_t; S²= 4,57495; R²= 99,9278%; F-stat.= 33225,56;

То есть – импортная продукция составляет всреднем  11% от конечного потребления.

Построение модели Un_t = F(Y_t,Lf_t);

Un_t = 12,8543 – 0,00811344*Y_t + 0,110717*Lf_t – незначима константа.

1. Un_t = 0,00235494*Y_t + 0,122318*Lf_t;

2. Un_t = –5,1533 + 0,125949*Lf_t;

3. Un_t = 0,070538*Lf_t;

4. Un_t = 0,00312178*Y_t

5. Un_t = 85,2152 – 0,0384964*Y_t

6. Un_t = –0,00219796*Y_t-1 + 0,11908*Lf_t;

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	0,40643	99,6311	3241,15
2	0,422258	91,1823	249,18
3	0,730717	98,8075	1988,52
4	1,49064	95,0373	459,61
5	0,935633	56,7076	32,44
6	0,426174	99,6052	2901,64

Модели 1 и 6 имеют близкие характеристики, однако модель 6 может быль лучше интерпритирована. Так например коэффициент при P_t в модели 1 положителен, что означает рост безработиции с ростом производства, в то же время коэффициент при P_t-1 в модели 6 отрицателен – то есть рост ВНД в прошлом периоде стимулирует производство и тем самым увеличивая занятость:

Un_t = – 0,00219796*Y_t-1 + 0,11908*Lf_t;

Построение модели Pi_t = F(Y_t; Y_t-1; M_t; M_t-1; Wg_t);

Pi_t = 35,7249 - 0,00605557*Y_t - 0,0192983*Y_t-1 + 0,0242131*Wg_t + 0,147187*M_t

+ 0,0683382*M_t-1; - незначимы параметры при Y_t и Wg_t;

Pi_t = 0,00122814*Y_t - 0,0140895*Y_t-1 + 0,29895*Wg_t + 0,158937*M_t + 0,0681514*M_t-1; - незначима оценка парметра при Y;

Pi_t = 36,4635 - 0,00603666*Y_t - 0,0193433*Y_t-1 + 0,145981*M_t + 0,06915*M_t-1 – незначима оценка параметра при Y_t;

1. Pi_t = 33,5867 – 0,0241035*Y_t-1 + 0,126771*M_t + 0,0894731*M_t-1;

2. Pi_t = -0,0129279*Y_t-1 + 0,304382*Wg_t + 0,163487*M_t + 0,063564*M_t-1;

3. Pi_t = -0,00911154*Y_t-1 + 0,157766*M_t + 0,0665567*M_t-1;

Pi = 31,4598 - 0,0233725*Y_t + 0,214887*M_t + 0,0260154*Wg_t – незначим параметр при Wg_t;

4. Pi_t = –0,013793*Y_t + 0,225591*M_t + 0,390012*Wg_t;

5. Pi_t = 32,5519 – 0,0235389*Y_t + 0,214403*M_t;

6. Ln(Pi_t) = 3,19063 - 0,864177*Ln(Y_t) + 1,27681*Ln(M_t);

7. Ln(Pi_t) = 0,472302*Ln(Y_t) + 1,31168*Ln(M_t);

Pi_t = 278,905 - 0,0505035*dY_t - 0,0918032*dM_t - 9,78976*Wg_t; - незначимы параметры при dY_t и dM_t;

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	0,178383	99,9519	15946,69
2	0,282685	99,9977	253156,86
3	0,308677	99,9973	283087,98
4	0,335867	99,9967	244840,56
5	0,246467	99,9141	13957,47
6	0,0048234	99,8931	11217,12
7	0,0063207	99,9998	5093719,0

Модели 2, 3, 4, 7 имеют одинаковый R². Из этих 4-х моделей выбираем модель 2 (она имеет, среди линейных моделей, всё же лучший R²): Pi_t = – 0,0129279*Y_t-1 + 0,304382*Wg_t + 0,163487*M_t + 0,063564*M_t-1;

Модель 2 предпочтительнее 7-й в силу ее линейности.

Построение модели G = F(t);

Как видно из приложения – метод Фостера-Стюарта указывает на отсутствие тенденции в ряду G_t. График выборочной автоковариационной функции имеет тенденцию к затуханию – следовательно ряд стационарный. График частной автоковариационной функции не имеет значимых коэффициентов. Следовательно данный ряд мы будим прогнозировать по средней: G_t = 340,54;

Построение модели M = F(t);

1. M_t = 1/(0,00355437 - 0,0000436785*t)

2. M_t = e^{(5,62826 + 0,0146983*t)}

3. M_t = (16,6197 + 0,135181*t)²

4. M_t = 281,07 + 3,39266*t + 0,0611329*t²

5. M_t = 273,918 + 4,98212*t

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	0,00004444	98,2012	1255,59
2	0,0151923	98,1449	1216,83
3	0,148491	97,9098	1077,39
4	5,27723	97,9796	582,94
5	5,9484	97,54	911,95

По максимуму R² выбираем модель 1:

M_t = 1/(0,00355437 - 0,0000436785*t);

Построение модели T = F(t);

Как видно из приложения [5.XX] – проверка зипотезы наличии тенденции в ряду T_t по методу равенства средних показывает отсутствие в ряду тенденции (приверка гипотезы о равенстве средних, подтвердила нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий для первой половины ряда и для второй, так же проверка гипотезы о равенстве средних подтвердила нулевую гипотезу о раве генеральной средней для первой половины ряда и для второй – следовательно тенденция отсутствует). Значение критерия Дарбина-Уотсона DW=2,0952504282. Следовательно автокорреляция в ряду отсутствует. По жанным причинам будем прогнозировать T_t по средней. T_t = 0,094212  9,42%; То естьмы предпологаем (и это подтверждает наша статистика, что налоговое законодательство достаточно стабильно и по данной причине стаблильна и усредненная ставка процента T_t);

Построение модели N = F(t);

1. N_t = 1/(0,0099676 - 0,0000550187*t)

2. N_t = e^{(4,60627 + 0,00597404*t)}

3. N_t = 94,4843 + 4,03605*t

4. N_t = 99,8628 + 0,649723*Year

5. Y_t = 95,757 + e^{(1,7674 + 0,053*t)};

6. Y_t = 352,735t^0,5;

7. Y_t = 98,6587+1,43196*t^0,5+e^0,100539*t;

8. Y_t = 92,1149+7,57083*t^0,164048 +e^0,10367*t;

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
1	0,000151981	88,1055	170,37
2	0,0167143	87,8355	166,07
3	2,20568	82,1783	106,06
4	1,85421	87,4054	159,62
5	1,74399	89,3426	---
6	5,94462	99,7114	8292,69
7	1,66517	90,2843	---
8	1,69347	90,4079	---

Выбираем модель 1(модель 5 неподходит по той причине, что дисперсия остатков для этой модели на 4-а порядка хуже, чем у лучшей по этому показателю модели 1. Модель 6 неподходит по той же причине) :

N_t = 1/(0,0099676 - 0,0000550187*t);

Коэффициент DW=0,933238. Что меньше расчетного значения при 5% уровне значимости d1= 1,27; Стационарность процесса определим по виду выборочной автоковариационной функции – как видно из приложения, она имеет тенденцию к затуханию. Следовательно ряд стационарен. Далее для определения порядка авторегрессии оброатимся к выборочной частной автоковариационой функции – она имеет значимым первый коэффициент на лаге 1. Следовательно мы имеем авторегрессионый процесс первого порядка – e_t = ae_t-1; В нашем случае зависимость имеет вид:

e_t = N_t - 1/(0,0099676 - 0,0000550187*t);

e_t = 0,530495*e_t;

Автокорреляция в ряду остатков, после исключения из него АР(1) отсутствует.

Построение модели I = F(t);

Метод равенства средних (см приложение) показывает отсутствие тенденции. Значение коэффициента Дарбина-Уотсона DW=2,23913 (DW’=4- 2,23913= 1,76087), что означает отсутствие автокорреляции в остатках. Следовательно выбираем модель: Ir_t = 0,494 = 49,4%. То есть ставка процента держится на постоянном уровне.

Модель 1МНК:

Статистические зависимости:

Y_t = K_t^0,787335Et_t^0,467592e^{- 0,0215897*t};

C_t = 0,815355*Ni_t – 0,815355*Ir_t;

Lf_t = 0,746535*Wg_t + 1,31436*Pi_t;

I_t = 1819,06-1819,06*Ir;

Wg_t = 27,9874 – 0,0551147*Lf_t + 0,272892* (Pi_t – Pi_t-1);

Ex_t = 0,0897303*Y_t;

Im_t = 0,110336*C_t;

Un_t = – 0,00219796*Y_t-1 + 0,11908*Lf_t;

Pi_t = – 0,0129279*Y_t-1 + 0,304382*Wg_t + 0,163487*M_t + 0,063564*M_t-1;

G_t = 340,54;

M_t = 1/(0,00355437 - 0,0000436785*t);

T_t = 0,094212;

N_t = 1/(0,0099676 - 0,0000550187*t);

Ir_t = 0,494;

Балансовы уравнения:

Ni_t = Y_t – Tax_t;

Tax_t = T_t*Y_t;

U_t = (Un_t/Lf_t)*100%;

Em_t = Lf_t – Un_t;

E_t = Ex_t – Im_t;

X_t = C_t + G_t + I_t + E_t;

Сводная таблица характеристик модели:

Модель:	Характеристика
	S2	R2	F-stat.
Y	0,00735974	99,9999	8942829,58
C	6,40144	99,9983	1393957,68
Lf	3,01168	99,898	11751,92
I	133,831	98,0123	1183,41
Wg	0,325805	80,4076	48,20
Ex	3,9698	99,9552	53538,94
Im	4,57495	99,9278	33225,56
Un	0,426174	99,6052	2901,64
Pi	0,282685	99,9977	253156,86