Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

НИРС / НИРС ЛР№4 Фурье Отчет

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.04.2015

Размер:

597.64 Кб

Скачать

☆

Министерство образования Российской Федерации ФГОУ ВПО Поволжский государственный технологический университет

Кафедра РТиМБС

Отчет по лабораторной работе №4

Разложение периодической функции в ряд Фурье с помощью MathCAD

по дисциплине Научно-исследовательская работа студентов

Выполнил: студент РСК-21 Рахмаев А.О.

Проверил:ст. преподаватель Охотников С.А.

Йошкар-Ола, 2013

Оглавление
Лабораторная работа № 2 .................................................................................................	2
Теория .............................................................................................................................	2
Практика .........................................................................................................................	3
Прямоугольный..........................................................................................................	3
Треугольный сигнал ..................................................................................................	4
Пилообразный сигнал................................................................................................	5
Синусоидальный сигнал ...........................................................................................	6
Вывод ..............................................................................................................................	7

Лабораторная работа № 2 Разложение периодической функции в ряд Фурье с помощью

MathCAD

Цель: Ознакомиться с возможностями MathCAD раскладывать сигнал в ряд Фурье, а так же синтезировать его из спектра. Провести прямые и обратные преобразования Фурье для основных видов сигналов, используемых в радиотехнике.

Теория

Согласно				теории			Фурье функция f x с	периодом T	может	быть разложена в
тригонометрический ряд:
	a0
f t	a0		an cos n 1t bn sin n 1t						(1)
f t			an cos n 1t bn sin n 1t						(1)
2					n 1
					n 1
Где						2	– основная частота. А a0,	a1, ... an и b1,	b2, ...	bn, так называемые
Где							– основная частота. А a0,	a1, ... an и b1,	b2, ...	bn, так называемые
		1				T
						T

коэффициенты ряда Фурье, которые определяют постоянную составляющую, амплитуды

гармоник в спектре и фазы каждой гармоники.

В MathCAD есть возможность проводить быстрые прямые и обратные преобразования Фурье спомощью специальных функций:

fft(v) - Выдаёт быстрое преобразование Фурье действительного вектора данных v с 2^n элементами. Выдаёт вектор размера 2^n-1 + 1. Подобно БПФ (v), за исключением использованых коэффициентов нормализации и подписанной конвенции.

icfft(A) - Выдаёт обратное преобразование Фурье, соответствующее cfft. Выдаёт массив того же самого размера как его параметр.

Практика

По заданию необходимо задать аналитически сам сигнал, построить амплитудный и фазовый спектры, а так же синтезировать разложенный сигнал обратно, но с ограниченным количеством гармоник. После чего сравнить исходный сигнал с синтезированным.

Необходимо рассмотреть четыре вида сигналов: прямоугольный, треугольный, пилообразный, синусоидальный. Расчет ведется по отдельности для каждого вида сигалла.

Прямоугольные импульсы

1) Математическая модель:

xo(t)	Am if 0 t ti					Хо – одиночный сигнал
xo(t)	Am if 0 t ti					Хо – одиночный сигнал
	0	if ti t T	x(t)		xo(t T n)	X(t) – тот	же, но с
	0	if t 0		n		бесконечными	повторениями
	0	if t 0				бесконечными	повторениями
		if T t				через период Т.
	0	if T t				через период Т.

2) Разложение в ряд Фурье, амплитудный и фазовый спектры:

Разложение произведено с помощью функции fft, которая принимает только вектора, посему раскладываем сигнал на последовательность декретов.

i 0		2	n	1		X	x(i)
						i

Fx fft (X)

j 0 rows(Fx) 1

Amsj Fxj

VS csplinej( Ams)

AMS(w) interp VS j Ams			w

		0.01228
		0.01228
VS csplinej( Faz)
FAZ(w) interp VS j Faz		w

	0.0129
	0.0129

q 0 20

Wq q 2

Разложение Фурье – получился массив из комплексных чисел.

Интерполируем, и получаем функцию. Деление w на константу провели для синхронизации j с w, установили опытным путем.

Интерполируем фазу, и уже можно строить спектры (см.рис1,2)

	5 10 3
	4 10 3
AMS(w)	3 10 3
AMS(W)	2 10 3
	1 10 3
	0
	0	0.2	0.4	0.6	0.8
			w W
Рисунок . Амплитудный спектр прямоугольных
импульсов

	2
FAZ(w)
FAZ(W)	0
FAZ(W)
	2
	0	0.2	0.4	0.6	0.8
			w W

Рисунок . Фазовый спектр прямоугольных импульсов

Треугольный сигнал

Составим математическую модель сигнала, по параметрам, заданным вариантом:

zo(t)

if 0

if t 0

if T t

	10
z(t)		zo(t n T)
	n 10

T2 t T

Разложим классическим способом, а именно по формулам коэффициентов, и получения модуля и аргумента. Для начала найдены коэффициенты ряда:

z(t) cos(n w t) dt

z(t) sin(n w t) dt

z(t) dt

2	2

Из них найдены модули и аргументы гармоник, построены фазовый и амплитудный спектры (см.рис.3,4)

																						bn
An 1				an			2	bn					2									bn
																	n 1		atan
																	n 1		atan
	ao										4						0		0			an
A0	ao				1.8						4						0		0
									10
	2								10
	2
	4 10 4																0
	3 10 4




An	2 10 4																0.1


	1 10 4																n
																	0.2


					0

						0				2			4	6	8	10
						0				2			4	6	8	10	0			2		4	6		8	10
																	0			2		4	6		8	10
														n									n
	Рисунок									.		Амплитудный				спектр							n
	Рисунок									.		Амплитудный				спектр	Рисунок .							Фазовый			спектр
треугольного сигнала																	Рисунок .							Фазовый			спектр
треугольного сигнала																	треугольного сигнала
																	треугольного сигнала
	Теперь восстанавливаем сигнал по трем																				4 10 4
гармоникам.


		ao					3											f (t)			3 10 4
							3														3 10 4
											An 1 cos				n w t n						2 10 4
f (t)
																		z(t)

			2																		1 10 4
						n 0


	Для наглядности изображен восстановленный																					0
	Для наглядности изображен восстановленный
и исходный									сигнал					на	одном графиком, но с								0 20		40	60 80 10 0
и исходный									сигнал					на	одном графиком, но с								0 20		40	60 80 10 0
разностью фаз. (см.рис.5)																										t
разностью фаз. (см.рис.5)																						Рисунок . Восстановленный

и исходный треугольный сигнал

Пилообразный сигнал

Проделаем аналогичные операции, что и с разложим сигнал в ряд Фурье классическим способом.

Математическая модель. График на рисунке 6. Сначала одиночный, потом периодический:

yo(t)			Am		t	y(t)

			T
		0		if t 0
				if T t
		0
	10
y(t)					yo(t n T)

n 10

треугольным сигналом, то есть

4 10 4
3 10 4
2 10 4
1 10 4
0	50
10 0	50	0	50	10 0

Рисунок . Пилообразный сигнал

Коэффициенты ряда Фурье, и амплитуды с фазами гармоник, а так же график фазочастотного и амплитудного спектра на рисунках 7,8.

		T
	2	T							An	an 2 bn 2
an			y(t) cos(n w t) dt						An	an 2 bn 2
	T	0T								bn
	2								n atan
	2								n atan
bn			y(t) sin(w n t) dt							an
bn			y(t) sin(w n t) dt							an
	T	0
	4 10 4										2
											2
											1
	3 10 4


												n 0
		4
		4
An 2 10												1
	1 10 4



		0										2
												2
											0		2	4	6	8	10
			0	2	4	6	8	10			0		2	4	6	8	10
			0	2	4	6	8	10

n	n

Рисунок . Амплитудный спектр

Рисунок . Фазовый спектр

	Выполняем восстановление сигнала
по трем, пяти и сему гармоникам, и все это
на одном графике (см.рис.9)				y(t)

			3	y3(t)
		a0	3
y3(t)		a0	Ak cos k w t k	y5(t)
y3(t)			Ak cos k w t k	y5(t)

2
2	k 1	y7(t)
		y7(t)

3 10 4

2 10 4

1 10 4

	a0	5
y5(t)	a0	Ak cos k w t k	0
	2	k 1
		k 1	0	20	40
		7	Рисунок . Восстановленный пилообразный сигнал
	a0			t
y7(t)	a0	Ak cos k w t k
	2	k 1	5
		k 1	5

Синусоидальный сигнал

Его, однако же, разложим в ряд Фурье опять с помощью встроенных функций MathCAD дискретного преобразования Фурье. И если обычное разложение показало бы одну гармонику с амплитудой основного сигнала, и нулевой фазой, то в дискретном преобразовании амплитудный спектр будет представлять собой некое распределение, с максимумом на частоте исходного колебания.

Итак, задаем математически сигнал:	2
	s(t) Am sin	t

	T

После чего получаем последовательность мгновенных значений тока(напряжения) этого сигнала:

n 9

i0 2n 1 Si s(i)

Производим быстрое преобразование Фурье, с помощью встроенных функций MathCAD. Выделяем из получившегося массива комплексных спектральных функций амплитуды и фазы:

FUR fft (S)				j 0 2n 1			c 2
FUR fft (S)				j 0 2n 1			c 2		T 11
									T 11
Ampj	FURj										Fazj arg FURj
Выглядит это, после интерполяции следующим образом (см.рис.11,10)
				3 10 3							2


		w									Faz	w	0

				3
Amp				2 10							c
Amp		c


				1 10 3									2
				1 10 3									2
				0

											0			0.1	0.2	0.3	0.4

					0.1	0.2		0.3		0.4
				0	0.1	0.2		0.3		0.4						w
								w								w
								w
			Рисунок . Амплитудный спектр										Рисунок .		Фазовый спектр
			Рисунок . Амплитудный спектр

синусоидального сигнала	синусоидального сигнала

Расхождение заметно вследствие того, что была использована функция дискретного преобразования Фурье, и она охватывает только часть всей синусоиды, из за чего тут возникают лишние гармоники, которые однако малы по амплитуде.

Вывод

В ходе работы были представлены математические модели заданных сигналов: прямоугольного, треугольного, пилообразного и синусоидального. Пользуясь встроенными функциями MathCAD, а так же математическими классическими понятиями, эти сигналы были разложены в ряды Фурье, а так же восстановлены по гармоникам.

Замечено, что для восстановления сигнала, вполне хватает 5-7 гармоник.

А при разложении части периодического сигнала, спектр не совсем линейчатый, а сплошной, и лишь вырождается в линейчатый.

Соседние файлы в папке НИРС

#
27.04.2015229.61 Кб13Лабораторная работа 5 Электрическая цепь.pdf
#
27.04.2015741.93 Кб17НИРС ЛР№1 Отчет.pdf
#
27.04.2015391.76 Кб16НИРС ЛР№2. Отчет.pdf
#
27.04.2015534.53 Кб16НИРС ЛР№3 Програмирование Отчет.pdf
#
27.04.2015597.64 Кб15НИРС ЛР№4 Фурье Отчет.pdf
#
27.04.2015529.41 Кб20НИРС ЛР№6 Отчет.pdf