НИРС / НИРС ЛР№1 Отчет
.pdf
Часть 5 Определение наибольшего и наименьшего значения функции
Теория
При нахождении максимумов и минимумов целевых функция в MathCAD
необходимо6
1.Определение ОДЗ по графику (естественно нужно построить графики)
2.Определяется вершина
3.По вершине саму функцию
Практика
По заданию необходимо найти минимум целевой функции. |
|
|
|
|
|||||||||
f(x y) 2x 5y |
|
|
Моя целевая функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
y1(x) x 6 |
|
|
Все 4 функции |
определяют |
область |
допустимых |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
11 |
значений, причем у первой знак больше, а у последующих |
||||||||
y2(x) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
меньше. Четвертая – не ОДЗ, а сама функция с некой |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
y3(x) 2x 8 |
|
|
константой, на данном |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
c |
|
|
этапе это может быть любое |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y4(x) 5 |
x 5 |
|
|
число. |
|
y1(x) |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Строим график, чтобы найти эту область. |
y2(x) |
6 |
|
|
|
|
|
||||||
Видим, |
что |
область удовлетворяющая ОДЗ |
y3(x) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y4(x) |
|
|
|
|
|
|
представляет |
собой треугольник. |
Минимальное |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
значение функции будет в точке пересечения первой |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и третьей прямой, |
так как это самый нижний угол |
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОДЗ. |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2. ОДЗ и сама целевая функция |
||||||
x 1 |
y 1 |
|
|
|
Теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Given |
|
|
|
|
находим координаты этой точки через given. |
Координаты |
|||||||
x y |
6 |
|
|
|
равны |
(2,4). Подставляем в изначальную |
функцию |
двух |
|||||
2x y |
|
8 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
координат, тем самым найдя с, теперь даже можно определить с, как |
|||||||||
find (x y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
ответ целевой функции и проверить, что |
и видно |
на предыдущей |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
f(x y) 2x 5y fmin f(2 4) 24
картинке (см.рис. 2). Ответ получен: 24.
10
Часть 6 Построение графиков функции
Практика
Задание состоит в построении графиков функции заданных в явном, неявном и параметрическом виде.
1. |
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27.423 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tan(x) |
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27.423 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
x |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3. Тангенс х |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|||
|
|
|
y2(x) |
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
2. |
Функция |
x 2 |
y2 |
4 представлена на рисунке 4 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2(x) |
10 |
5 |
0 |
|
5 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
x |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 4. Эллипс |
|
|
|
|||
11
Часть 7 Обработка экспериментальных данных
Теория
MathCAD позволяет восстанавливать функцию по дискретным значениям. Это особенно необходимо при обработке экспериментальных данных, когда известны лишь отдельные точки.
Интерполяция – это когда соединяются все точки. Есть линейная и сплайн-
интерполяция. Однако не всегда точки на самом деле принадлежат зависимости, в
основном это лишь окрестности, тут нам на помощь в MathCAD приходит регрессия – восстановление не по самим точкам, а по области.
Практика
1.Задние состоит в восстановлении функции по точкам и нахождении значения этой функции в определенной точке x=N+0,55, где N – номер варианта.
X ( 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10)T |
Точки даны согласно варианту, после |
||||||
|
|
|
|
|
|||
Y ( 41.74 42.24 43.88 42.17 45.04 43.7 42.46 45.72 44.06 45.87 44.95)T |
чего |
найден |
одномерный |
||||
массив |
вторых |
||||||
|
|
|
|
||||
VS cspline(X Y) |
|
|
|
|
|
||
|
производных при приближении в опорных точках к |
||||||
y(x) interp(VS X Y x) |
|
|
|
|
|
||
кубическому полиному командой cpline. Осталось |
|
|
|
|
|||
только интерполировать функцию по этому вектору, |
|
48 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
точкам и зависимой переменной (в нашем случае х). |
|
46 |
|
|
|||
|
График этой функции имеет вид, представленный |
y( x) 44 |
|
|
|||
на рисунке 5. Значение функции в заданной точке: |
|
42 |
|
|
|||
N 9 |
Вариант 9 |
|
|
40 9 |
9.2 9.4 |
9.6 9.8 |
|
|
|
|
|||||
x N 0.55 9.55 |
|
|
Рисунок 5. Интерполированная функция |
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y(x) 42.471 |
|
|
|
|
|
||
2.Теперь необходимо найти методом наименьших квадратов значения коэффициентов зависимости y = f (x) по заданным экспериментальным
данным. |
Функция |
|
|
|
имеет |
вид: |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
12 |
|
|
|
|
Точки все те же, осталось найти коэффициенты а,в,с. Это позволяет нам сделать регрессия общего вида, когда известна функция как линейная комбинация более простых функций.
X ( 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10)T
Y ( 41.74 42.24 43.88 42.17 45.04 43.7 42.46 45.72 44.06 45.87 44.95)T
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
F(x) |
|
|||
|
||||
|
log(x) |
|||
|
||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||
Линейная
комбинация
|
|
277.511 |
|
|
S linfit(X Y F) |
S |
199.113 |
ff(x) S F(x)Помножаем |
|
Создаем |
|
|
коэффициенты на функции, и |
|
|
0.332 |
|||
коэффициенты |
получаем то что надо. |
|||
которые равны: |
||||
|
|
|||
Проверяем построением графика функции по заданным коэффициентам.(см.рис.6)
|
|
Теперь находим значение этой функции (уже |
45 |
|
подогнанной) в точке: |
|
|
|
44 |
|
N 9 t N 0.55 9.55 ff (t) 44.089 |
|
|
|
ff(x) 43 |
|
Теперь если сравнить с предыдущей частью, |
42 |
|
где тоже рассматриваются те же точки, заметим, что |
41 |
9 9.2 9.4 9.6 9.8 |
они не сходятся. Однако в первом случае соединялись |
|
x |
точки, а во втором случае (в регрессии) функция |
Рисунок 6. Регрессия |
проходит рядом с ними, но не обязательно по ним. В |
|
этом особенность регрессии. Необходимо найти так же и погрешности регрессии. В
нашем случае определим в процентом соотношении максимального отклонения функции от экспериментальных точек.
i 0 10
FF ff X Значения регрессии в точках Х |
||
i |
i |
|
R |
|
2 Массив ризниц по модулю |
FF Y |
||
o max(R) 1.78 Максимальное отклонение
o
mean(Y) делим максимальное отклонение на среднее значение У
0.041 Четыре процента погрешность составила
13
3.Постройте график z = f (x, y) двумерной сплайн-интерполяции по заданным эмпирическим данным (массивы X, Y даны в табл.). Используя найденную зависимость, найдите значение z в точке x = XN + 0.55, y = YN + 0.35, где N
номер варианта.
X ( 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10)T
Y ( 41.74 42.24 43.88 42.17 45.04 43.7 42.46 45.72 44.06 45.87 44.95)T
XY 0 X |
|
XY 1 Y |
i 0 10 |
j 0 10 |
|
Z |
i j |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 Xi Yj |
|
|
Z(x y) |
|
3x y |
|
|
|
|
||||
Zi j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||
X 2 |
|
Y |
2 |
|
y |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
ZZ(x y) interp cspline(XY Z) XY Z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||
x X 0.55 10.45 y Y99 0.35 46.22
ZZ (Unitless, Unitless) Unitless
Однако, само значение от х,у не удалось получить.
14
Часть 8 Приближенное решение дифференциальных уравнений
Теория
Для решения дифференциальных уравнений (систем) различного порядка и различными методами в MathCAD введены 13 встроенных функций: rkadapt, Rkadapt, rkfixed, Bulstoer, bulstoer, bvalfit, multigird, relax, sbval, Stiffb, stiffb, Stiffr и stiffr.
Практика
1. |
Задание состоит в решении задачи Коши методом Ренге-Кутта с постоянным |
||||||||||||||||||||||||
|
шагом. Построить графики решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задаем |
начальные |
условия, |
и границу |
||||||||||||||
y0 2 |
|
|
x0 2 |
xn 3 |
|
промежутка. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
D(x y) |
|
sin(y) |
|
|
|
|
Очищаем |
левую |
часть, а правую часть |
||||||||||||||||
|
sin(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
именуем D. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
M1 100 |
M2 200 |
M3 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
O1 rkfixed(y0 x0 xn M1 D) |
O2 rkfixed(y0 x0 xn M2 D) |
|
O3 rkfixed(y0 x0 xn M3 D) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Несколько |
типов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 99 |
|
|
|
|
интервалов, |
а как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следствие и количества шагов, по заданию |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
выбираем одни больше, а другой меньше в |
|
O1n 02.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
два раза. |
После чего высчитываем матрицы |
|
O2n 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
решения с помощью функции rkfixed. |
|
|
O3n 01.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Строим графики. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
6 |
8 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Рисунок 7. Решения дифференциального
уравнения
15
Часть 9 Построение поверхностей заданных в явном виде в декартовой
системе координат
Практика
F(X Y) X Y
a 5 |
b 5 |
|||
M 25 |
N 25 |
|||
i 0 M |
j 0 N |
|||
X |
a (b a) |
i |
|
|
|
||||
i j |
|
|
M |
|
|
|
|
||
Zi j F Xi j Yi j
Функция плоскости задана. После чего границы построения. Количество точек в заданном интервале.
Выражение значений X и Y в этих точках. Теперь функция представляет собой массив из полученных точек,
|
a (b |
a) |
j |
|
которые связаны функционально. |
Y |
|
|
|||
|
|
||||
i j |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||
По этим точкам построен график плоскости
(см.рис.8).
Рисунок 8. 3D график
16
Часть 10 Построение поверхностей в сферических и цилиндрических
системах координат
Теория
Связь между декартовой системой координат и сферической определяется формулами:
Y = Rcos(α )sin(φ ) X = Rcos(α ) cos(φ ) Z = Rsin(α )
Если существует функция F(X,Y,Z) = 0 , связывающая координаты X,Y,Z, то возможно определить взаимосвязь между переменными α ,φ , R , что и сделано в следующем примере.
Угол α изменяется в пределах от 0 до π, угол φ от 0 до 2π.
Практика
Построить в цилиндрической системе координат поверхность
Z(X ,Y)=e^(−(X^2+Y^2)).
Поверхность изначально задана в декартовой системе координат. MathCAD
позволяет строить 3D графики только в декартовой системе координат. Теперь задание теряет всякий смысл. Необходимо было бы дать поверхность заданную в цилиндрической системе координат, для построения её в MathCAD, а это можно сделать, если перевести все в декартовую. Либо задавать не построить, а задать формулой эту поверхность (из
цилиндрической в декартовую).
Однако, я построил эту поверхность в декартовой системе координат, и перевел её
в вид цилиндрической (аналитически).
F(X Y) e |
X2 Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a 5 |
b 5 |
M 25 |
N 25 |
i 0 M |
j 0 N |
|||||||
X |
|
a (b a) |
i |
|
|
|
Y |
a (b a) |
j |
|
|
||
i j |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
M |
|
|
i j |
|
|
N |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Zi j F Xi j Yi j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
FC( r) e |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
(r sin( )) |
|
(r cos( )) |
|
|
|
|
|||||||
17
Заключение
В общем и в целом, по итогам работы были получены навыки обращения с системой компьютерной математики Mathcad. Изучены основные приемы решения математических задач при помощи встроенных функций и вычислительных блоков. Эти знания и навыки безусловно пригодятся в научной и производственной инженерной практике для вычислений и подготовке отчетов.
18
Список использованной литературы
Найханов, В.П Mathcad [Текст]: Лабораторный практикум для студентов изучающих информатику / В.В.Найханов, Т.В. Аюшеев, А.А. Габагуев и П.В. Мотошкин,
А.А. Дубанов. - ВСГТУ, 2000. – 59 с.
19