Общая_Теория_Связи_Лекции / lex_10

2

Лекция №10 по курсу

“Теория электрической связи”

Синтез линейных цифровых фильтров

1. Метод инвариантных импульсных характеристик

В основе этого метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра - прототипа, т.е.

(14)

Число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчётов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

В общем случае синтез структуры фильтра осуществляется путем применения z-преобразования к последовательности вида (14). Найдя системную функцию H(z) фильтра, следует сравнить её с общим выражением и определить коэффициенты транверсальной и рекурсивной частей.

2. Синтез ЦФ на основе дискретизации дифференциального уравнения аналоговой цепи

К структуре ЦФ, приближённо соответствующего известной аналоговой цепи, можно прийти, осуществив дискретизацию дифференциального уравнения, описывающего прототип.

Рассмотрим синтез ЦФ, отвечающего колебательной динамической системе 2-го порядка, для которой связь между выходным колебанием y(t) и входным колебанием x(t) устанавливается дифференциальным уравнением

(15)

Если шаг дискретизации равен ; производные можно заменить их конечно-разностными выражениями м дифференциальное уравнение превратится в разностное уравнение

(16)

=> (17)

Резонансное уравнение (17) задаёт алгоритм рекурсивного фильтра 2-го порядка, который моделирует аналоговую колебательную систему.

3. Метод инвариантных частотных характеристик

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации.

Пусть K_a(p) - передаточная функция аналогового фильтра, забавляемая дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты p.

Используя билинейное преобразование

(18)

можно получить формулу связи между частотными переменными аналогового и цифрового фильтров

(19)

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции K_a(p) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (18).

Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.