Общая_Теория_Связи_Лекции / lex_14

5

Лекция № 14 по курсу

“Теория электрической связи”

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ

1. Оптимальная линейная фильтрация сигналов известной формы

Частотно-избирательную систему, выполняющую обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом, называют оптимальным линейным фильтром.

Пусть системой, осуществляющей обработку суммы сигнала и шума, является стационарный линейный фильтр с импульсной характеристикой h(t). Детерминированный полезный сигнал (t) создает на выходе фильтра отклик

.

Зафиксируем некоторый произвольный момент времени и постараемся так выбрать функцию h(t), чтобы величина достигала максимально возможного значения. Если такая функция действительно существует, то отвечающий ей линейный фильтр называют фильтром, согласованным с заданным входным сигналом или согласованным фильтром.

Пусть

(1)

- отклик на выходе фильтра, подлежащий максимизации по модулю. На основании неравенства Коши-Буняковского

. (2)

Знак равенства имеет место тогда, когда сомножители в подынтегральном выражении пропорциональны друг другу

, (3)

где - произвольный коэффициент.

Выполним замену переменной . Получаем

. (4)

Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию входного сигнала, которая располагается в зеркальном порядке вдоль оси времени и смещена относительно сигнала на отрезок . Рисунок иллюстрирует принцип построения функции применительно к некоторому импульсному сигналу длительностью , возникающему при t=0.

Необходимое условие физической реализуемости согласованного фильтра: промежуток времени между началом импульса на входе и моментом возникновения максимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности выделяемого импульса. В противном случае импульсная характеристика системы была бы отлична от нуля при t<0, т.е. до момента поступления дельта-импульса на вход фильтра.

Смысл этого условия таков: для создания максимально возможного мгновенного значения сигнала на выходе согласованный фильтр должен предварительно провести обработку всего входного сигнала.

Рассмотрим работу согласованного фильтра как коррелятора. Пусть - некоторый входной сигнал, в общем случае не совпадающий с сигналом , по отношению к которому рассматриваемый линейный фильтр является согласованным. Отклик фильтра на данное входное воздействие

. (5)

Последний интеграл представляет собой взаимнокорреляционную функцию сигналов и , т.е.

. (6)

В момент времени мгновенное значение выходного сигнала с точностью до коэффициента пропорциональности оказывается равным скалярному произведению обоих сигналов:

. (7)

Предположим теперь, что , т.е. на входе фильтра присутствует сигнал, по отношению к которому этот фильтр согласован. Из формулы (6) следует

, (8)

т.е. выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой во времени на отрезок .

Поскольку импульсная характеристика и частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье, на основании формулы (4)

. (9)

Введем новую переменную интегрирования .

.

Последнюю формулу можно записать следующим образом:

. (10)

Частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала, для выделения которого этот фильтр предназначен. Множитель определяет уровень усиления, вносимого фильтром. Значение момента времени входит лишь в выражение фазовой характеристики фильтра. При этом сомножитель описывает смещение выходного отклика фильтра по оси времени на величину .

Рассмотрим случай, когда на входе фильтра, согласованного с некоторым известным сигналом , присутствует сумма этого сигнала и стационарного белого гауссового шума , характеризуемого двусторонней плотностью спектра мощности . Согласованный фильтр, будучи линейной стационарной системой, обрабатывает сигнал и шум независимо друг от друга.

Эффективность действия фильтра характеризуется отношением сигнал/шум на выходе

(11)

равным отношению пикового значения мощности полезного сигнала в момент максимального отклика к средней мощности выходного шума. Дисперсия шума на выходе фильтра

(12)

на основании (10) не зависит от формы частотного коэффициента передачи фильтра, а определяется спектром мощности входного шума и энергией сигнала на входе .

. (13)

Приходим к выводу, что отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

. (14)

Так как числитель в формуле (11) представляет собой предельно достижимый отклик, ясно, что согласованная фильтрация обеспечивает максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе системы.

По этой причине согласованный фильтр является оптимальным фильтром, выделяющим известный сигнал из смеси с белым шумом при максимально возможном отношении сигнал/шум.

Особенность согласованного фильтра состоит в том, что возможность обнаружения сигнала оказывается зависящей от его энергии, а не от формы. В частности, всегда можно добиться надежного обнаружения сигнала малой амплитуды, если соответствующим образом увеличивать длительность импульса. Однако при этом, естественно, будет снижаться скорость передачи информации по радиоканалу.

2. Согласованная фильтрация сигналов на фоне окрашенных шумов

Согласованным фильтром можно воспользоваться и при приеме полностью известного сигнала на фоне стационарной помехи с произвольной спектральной плотностью . Для этого достаточно пропустить принимаемое колебание через дополнительный линейный фильтр, который преобразует помеху в белый шум. Фазочастотная характеристика фильтра может быть любой, а амплитудно-частотная характеристика такого дополнительного “обеляющего” фильтра должна иметь вид

. (15)

На выходе обеляющего фильтра помеха превратится в белый шум с постоянной спектральной плотностью.

Тогда комплексная частотная характеристика соответствующего оптимального фильтра

. (16)

Оптимальный фильтр представляет собой последовательное соединение двух фильтров: обеляющего и согласованного.

3. Оптимальная фильтрация случайных сигналов

На практике точная форма полезного сигнала часто заранее неизвестна. Поэтому реальный сигнал можно в некотором приближении рассматривать как типичную реализацию из стационарного ансамбля. Если плотность вероятности такого случайного процесса известна, то единственная информация о всей совокупности возможных сигналов заключена в спектре мощности или в функции корреляции. В канале, помимо случайных полезных сигналов, присутствуют помехи. Как правило, спектры мощности полезных сигналов и помех в той или иной степени различаются прежде всего своим расположением на частотной оси. Это позволяет найти стационарный линейный фильтр, который выделяет случайный полезный сигнал некоторым наилучшим образом.

Предположим, что на вход фильтра с частотным коэффициентом передачи одновременно поданы два гауссовых случайных сигнала. Реализации этих сигналов обозначим символами и . Пусть - полезный сигнал, в то время как - помеха. Эти сигналы являются реализациями стационарных случайных процессов и . Данные случайные процессы взаимно некоррелированы и заданы своими спектрами мощности , .

Реализация выходного сигнала фильтра не является точной копией полезного сигнала , а отличается от него на величину случайного сигнала ошибки .

Будем называть оптимальным фильтр, частотный коэффициент передачи которого выбран таким образом, что дисперсия сигнала ошибки оказывается минимальной.

Если - спектр мощности сигнала ошибки, то дисперсия этого сигнала

.

Поскольку случайные процессы и некоррелированы, мощности случайных сигналов, поступающих на выход по каждому из двух возможных каналов

. .

Эта величина минимальна при . Таким образом оптимальный фильтр должен вносить нулевой фазовый сдвиг на всех частотах.

. (17)

Минимум дисперсии ошибки будет обеспечен, если

.