Полная группа соб-й.

Теорема: Сумма в-тей соб-й А₁, А₂,…,А_п, обр-щих полн.группу равна 1.

Д-во: так как появл-е одного из соб-й полной группы достоверно, в-ть достоверного соб-я равна 1, то Р(А₁+А₂+ …+А_п)=1 (1)

Любые два соб-я полн. группы несовместны, поэтому можно применить теорему слож-я: Р(А₁+А₂+…+А_п) =Р(А₁) +Р(А₂)+ …+Р(А_п) (2)

Сравнивая (1) и (2), получим Р(А₁) +Р(А₂)+ …+ Р(А_п)=1

Противоположные соб-я.

Против-ными наз. два единственно возм. соб-я, обр-щих полн. группу.

Теорема: сумма в-тей противоп. соб-й равна 1: Р(А)+Р(А)=1

Д-во: Противоп. соб-я обр-ют полн. группу, а сумма в-тей соб-й, обр-щих полн. группу равна 1.

2.Система дифференциальных ур-ний Колмогорова для в-тей соб-й. Переходы системы из S_i в S_g происходит под воздействием простейшего потока с интенсивностью λ_ig. Граф состояния системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным

Очевидно, что для любого момента t: Σ³_i=10 P_i(t)=1

Рассм-м с-му в момент t и задав малый промежуток ∆t, найдем в-ть: P₀(t+∆t) того, что с-ма в момент t+∆t будет находиться в сост-и S₀. Это достигается разн. способами:1.с-ма в момент t находилась в сост-и S₀, а за время ∆t не вышло из него. Вывести с-му можно суммарным прос-тейш. потоком с интенсив-ю (λ₀₁ + λ₀₂), т.е. с в-тью (λ₀₁ + λ₀₂)∆t. 2.с-ма в момент t с в-тями P₁ или P₂ находятся в сост-и S₁ и S₂ и за время ∆t перешла в S₀. Потоком λ₁₀ с-ма перех-т в сост-е S₀. Применяя подобные изм-я, получим P₀(t+∆t)=P₁(t) λ₁₀ ∆t +P₂(t) λ₂₀∆t +P₀(t) [1-(λ₀₁ + λ₀₂)∆t]

При переходе можно получить :

1.P’₀= λ₁₀P₁ + λ₂₀P₂ – (λ₀₁ - λ₀₂)P₀

2.P’₁= λ₀₁ P₀ + λ₃₁P₃ – (λ₀₁+λ₁₃)P₁

3.P’₂=λ₀₂P₀ + λ₃₂P₃ – (λ₂₀ + λ₂₃)P₂

4.P’₃ = λ₁₃P₀ + λ₂₃P₂ – (λ₂₀ +λ₂₃)P₃

===================================================

Билет 8.

(1) Ф-ла полн. в.ти

Пусть люб. соб-е А мож. наступить при усл.появл-я одного из несовм. соб-й В1, В2, В3, Вn, к-рые обр-ют полн. группу. Пусть известны в-ти этих соб-й и усл. в-ти ______________________ соб-я А. Как найти в-ть соб-я А? Ответ дает теорема пол. вер-ти: вер-ть соб-я А, к-рое может наступить лишь при усл. появл-я одного из несовм.соб-й В1, В2.. Вn, обр-щих полн. группу, равна сумме произв-й в-тей кажд. из этих соб-й на соотв-щую усл. в-ть соб-я А:

Д-во: по усл., соб-е А мож. наступить, если наступит одно из несовм. соб-й В1, В2… Вn. Др. словами, появл-е соб-я А означает осущ-ние одного, безразл. какого, из несовм. соб-й В1А, В2А,…. ВnА. Пользуясь для вычисления вер-ти соб-я А теоремой слож-я получим:

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умнож-я вер-тей зависимых соб-й имеем:

Подставив правые части этих равенств в соотн-ниее (*), получим ф-лу полной вер-ти

2.Предмет мат.статистики. Генер. совок-ть и выборка.

Перв. задача мат.статистики – указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез. наблюдений или в рез.спец-но по-ставленных экспериментов. Втор. задача – разработать методы анализа стат. данных в завис-ти от целей исслед-я.

Совр. мат.стат. разрабатывает способы опред-я числа необх. испыт-й до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исслед-я (последовательный анализ) и решает многие др. задачи. ЕЕ опред-ют как науку о принятии решений в усл. неопред.сти.

Выборка – это совок-ть случ-но отобранных объектов. Генеральн. со-вок-ть – это совок-ть объектов, из к-рых производится выборка.

Выборка: повторная – при к-рой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генерал. сов-ть; бесповторная – про к-рой отобранный объект в генер. сов-ть не возвращается (исп-ется на прак-тике). Выборка должна правильно представлять пропорции генер. сов-ти, т.е. она должна быть репрезентативной (будет такой, если ее осущ-ть случайно: кажд. объект выборки отобран случ-но из генер. сов-ти, если все объекты имеют одинак. в-ть попасть в выборку).

======================================================

Билет 30. 1Предмет мат.статистики. Генер. совок-ть и выборка.

Первая задача мат.статистики – указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез-те наблюдений или в рез-те специально поставленных экспериментов. Вторая задача – разработать методы анализа стат. данных в зависимости от целей исследования.

Современная мат.статистика разрабатывает способы опред-я числа необходимых исп-й до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие др. задачи. ЕЕ определяют как науку о принятии решений в условиях неопред.сти.

Выборка – это совок-ть случайно отобранных объектов. Генер. совок-ть – это совок-ть объектов, из к-рых производится выборка.

Выборка: повторная – при к-рой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совок-ть; бесповторная – про к-рой отобранный объект в генеральную совок-ть не возвращается (исп-ется на практике). Выборка должна правильно представлять пропорции генер. совок-ти, т.е. она должна быть репрезентативной (будет такой, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генер. совок-ти, если все объекты имеют одинаковую в-ть попасть в выборку).

==============================================================

Билет№10

(1)Опеределение случ. Вел-ны. Ряд распред-я.

Уже в первой части приводились соб-я, со­стоящие в появлении того или иного числа. Напр,. при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед опред-ть число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случ. причин, к-рые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть вел-на случ.; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возм. знач-я этой вел-ны. Случ. наз. вел-ну, к-рая в рез-те исп-я примет одно и только одно возможное значе-/ ние, наперёд не известное и зависящее от случ." причин, к-рые заранее не могут быть учтены. Будем далее обозначать случ. вел-ны пропис­ными буквами X, Y, Z, а их возм. знач-я—соот­ветствующими строчными буквами х, у, 'г. Напр если случ. вел-на Х имеет три возм. знач-я, то они будут обозначены так: х1, х2, х3.

Вернемся к примерам, приведенным выше. В пер­вом из них случ. вел-на Х могла принять одно из следующих возм. знач-й: 0, 1, 2, ..., 100. Эти знач-я отделены одно от другого промежутками, в к-рых нет возм. знач-й X. Таким образом, в этом примере случ. вел-на принимает отдельные, изолированные возм. знач-я. Во втором примере случ. вел-на могла принять любое из знач-й промежутка (а, Ь). Здесь нельзя отделить одно возможное знач-е от другого промежутком, не содержащим возм. знач-й случ. вел-ны.Уже из сказанного можно заключить о целесообразно­сти различать случ. вел-ны, принимающие лишь отдельные, изолированные знач-я, и случ. вел-ны, возм. знач-я к-рых сплошь заполняют нек-рый промежуток. Дискр. (прерывной) наз. случ. вел-ну, к-рая принимает отдельные, изолированные возм. знач-я с определенными вероятностями. Число возм. знач-й дискр. случ. вел-ны может быть конечным или бесконечным. Непрер. наз. случ. вел-ну, к-рая может принимать все знач-я из некот. конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возм. знач-й непрер. случ. вел-ны беско­нечно.На первый взгляд может показаться, что для задания дискр. случ. вел-ны достаточно пере­числить все ее возм. знач-я. В действительности это не так: случ. вел-ны могут иметь одинако­вые перечни возм. знач-й, а в-ти их — различные. Поэтому для задания дискр. случ. вел-ны недостаточно перечислить все возм. ее знач-я, нужно еще указать их в-ти. Законом распред-я дискр. случ. вел-ны наз. соответствие между возм. знач-ями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналити­чески (в виде ф-лы) и графически. При табличном задании закона распред-я дискр. случ. вел-ны первая строка таблицы содержит возм. знач-я, а вторая—их в-ти:

Приняв во внимание, что в одном исп-и случ. вел-на принимает- одно и только одно возможное знач-е, заключаем, что соб-я _____________________________образуют полную группу; =>, сумма в-тей этих соб-й, т. е. сумма в-тей второй строки таблицы, равна ед-це:

Если множество возм. знач-й Х бесконечно (счетно), то ряд ________________сходится и его сумма равна ед-це. Для наглядности закон распред-я дискр. случ. вел-ны можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки _______,а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру наз. многоугольником распред-я.

=====================================================

(2) Метод наиб. правд-бия Одним из методом точечн. оценки неизвестн. парам-ров распред-я явл. Метод наиб. правд-бия, предложенный Фишером. А) Дискр. случ. Вел-ны. Пусть Х дискр. Случ. Вел-на, к-рая в рез-те n испыт-й приняла знач-я х1, х2, хn. Допустим, что вид закона распред-я вел-ны Х задан, но неизвестен парам-р _____, к-рым опред-ся этот закон. Требуется найти его точечн. оценку. Обозначим вер-ть того, что в рез-те испыт-я вел-на Х примет знач-е х_i ( i=1,2,n ), ч-з р(_________)(стр. 229). Ф-цией правд-бия диск. Случ. Вел-ны Х наз. ф-цию аргумента _____

Где х1, х2, хn – фиксир. числа. В кач. точечн. оценки парам-ра ____ приним. такое его знач-е ______________________, при к-ром ф-ция правдоп-я достигает максимума. Оценку ____ наз. оценкой наиб. прав-доподобия. Ф-ции L и InL достигают макс-ма при одном и том же знач-и ____, поэтому вместо отыскания макс-ма ф-ции L ищут ( что удобнее) мах ф-ции InL. Логарифмич. ф-ей правдоп-я наз. ф-ю InL. Как известно, точку мах ф-ции InL аргумента ____ можно искать, напр. так: 1) найти производную ______

2) приравнять произв-ю нулю и найти критич. точки – корень полу-ченного ур-я (его наз. ур-ем правд-бия). 3) найти вторую произ-ю

если вторая произв-я при __________ отриц-на, то ____ - точка мах. Найденную точку мах ____приним. в кач. оценки наиб. правд-бия парам-ра ___. Метод наиб. правд-бия имеет ряд досто­инств: оцен-ки наиб. правд-бия состоятельны (но они м.б. смещенными), распреде­лены асимптотически нормально (при больших знач-ях л прибли-женно нормальны) и имеют наим. дисперсию по сравн. с др. асимпто-тически нормал. оценками; если для оцениваемого пар-ра 6 сущ-ет эффективн. оценка О*, то ур-е правд-бия имеет единств. реш-е 6*; этот метод наиб. полно исп-ет данные выборки об оцениваемом парам-ре, поэтому он особ-но полезен в случ. малых выборок.

Недостаток метода состоит в том, что он часто требует сложн. вычис-лений. Б) Непрерыв. случ. Вел-ны. Пусть Х непрер. случ. Вел-на, к-рая в рез-те n исп-й приняла знач-я х1, х2, хn. Допустим, что вид плот-ти распред-я f(x) задан, но не известен пар-р _____, к-рым опред-ся эта ф-я. Ф-цией правд-бия непрерыв. Случ. Вел-ны Х наз. ф-ю аргумента:

Где х1, х2, хn – фиксир. числа. Оценку наиб. правд-бия неизвест. пар-ра распред-я непрер. случ. Вел-ны ищут так же как и в случ. дискр.вел-ны.

======================================================

(2) Доверитель. интервал для МО при известной дисперсии. (при известн. СКО стр. 214)Пусть количеств. признак Х генеральн. совок-ти распределен нормально, причем СКО ___ этого распред-я известно. Требуется оценить неизвестное МО __ по выборочной ср. ___. По-ставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие парам-р ___ с надеж-ть ____. Будем рассм-ть выборочную ср. ____ как случ. вел-ну ____ ( ___ изменяется от выборки к выборке) и выборочн. знач-я признака х1, х2, хn – как одинаково распред-ные независ. случ. вел-ны Х1, Х2, Хn ( эти числа также изм-ся от выборки к выборке). Др. словами, МО каждой из этих вел-н равно ___ и СКО - ____. Примем без док-ва, что если случ. вел-на Х распределена норм-но, то выбо-рочная ср. ____, найденная по независ. наблюдениям, также распр-на норм-но. Парам-ры распред-я ____ таковы:

Потребуем, чтобы выполнялось соотн-ниее:

Где____ заданная надеж-ть. Пользуясь ф-лой

Заменив Х на _______ и ______ на __________________, получим

Где _____________. Найдя из последнего рав-ва ________________, можем написать

Приняв во внимание, что вер-ть Р задана и равна ____, окончательно имеем ( чтобы получить рабочую ф-лу, выборочную ср. вновь обозначим ч-з ______)

Смысл полученного соотн-ниея таков: с надеж-тью _____ можно утверждать, что довер. Интервал ___________________________ покрывает неизвестный парам-р ____ точ-ть оценки ____________________. Число t определяется из рав-ва _______________ или _______________; по табл. ф-ции Лапласа находят аргумент t, к-рому соответствует знач-е ф-и Лапласа равное ________.

==================================================

2.Точеч. оценка числ. хар-к. Осн. опред-я. Метод моментов. Точечн. наз. оценку, к-рая опред-ся одним числом. Оценка генер. дисперсии по исправленной выборочной. Пусть из генер. сов-ти в рез. n независ. наблюдений над колич-ным признаком X извлечена повторн. выборка объема n:

знач-я признака х₁х₂ х_к

частоты n₁n₂ n_к

При этом n₁+n₂+ +n_k=n

Требуется по данным выборки оценить неизвестную генер. дисперсию D_r. Если в кач. оценки генер. дисперсии принять выборочн. дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематич. ошибкам, давая занижен. знач-е генер. дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия явл. смещенной оценкой D_r, др. словами, мат.ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генер. дисперсии, а равно

M[D_в]=((n-1)/n)D_r

Получим исправл-ю дисперсию, к-рую обычно обозн-ют ч-з s²

см.стр.212

Исправл-я дисп-я явл, конечно, несмещенной оценкой генер. дисп-и. Действ-но

Итак, в кач. оценки генер. дисп-ии принимают исправл. дисперсию

Для оценки же ср. квадр. отклонения генер. сов-ти исп-ют “исправленное” СкО, к-рое равно квадр. корню из исправл. дисперсии:

Подчеркнем, что s не явл. несмещен. оценкой; чтобы отразить эт. факт, мы будем писать так: “исправленное” ско.

Метод моментов.

ММ, предложенный Пирсоном осн. на том, что начальн. и центральн. эмперич. моменты явл.состоятельными оценками соотв-но начальн. и центр. теор. мом-тов того же порядка. Достоинство метода – сравнит-ая его простота. ММ точечн. оценки неизвестн.парам-ров заданного распред-я сост. в приравнивании теор. моментов рассм-го распред-я соотв-щим эмпир.моментам того же порядка. А.Оценка одного парам-ра: для оценки одного парам-ра достаточно иметь олно ур-е отн-ьно этого парам-ра. Следуя методу м., приравняем, напр, начальн. теор. момент перв. порядка к нач. эмпир. моменту перв. порядка:

стр.227

(1)

МО М(Х), как видно из соотн-ниея

есть ф-я от ,поэтому (1) можно рассм-ть как ур-ие с одним неизв . Решив это ур-е отн-но праметра , тем самым найдем его точечную оценку ¹, к-рая явл. ф-цией от выборочн. ср., => и от вариант выборки:

Б.Оценка 2-х парам-ров: для отыскания 2-х парам-ров необходимы 2 ур-я относительно этих парам-ров

======================================================

Билет№13

(1) Дисперсия случ. вел-ны и ее св-ва

На практике часто требуется оценить рассеяние возм. знач-й случ. вел-ны вокруг ее ср. знач-я. Напр, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, к-рая должна быть поражена.На перв. взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возм. знач-я отклонения случ. вел-ны и затем найти их ср. знач. Однако такой путь ничего не даст, так как ср. знач. отклонения, т. е. М[Х—М(Х)], для люб. случ. вел-ны равно нулю. Это св-во уже было доказано в предыд. параграфе и объясн. тем, что одни возм. отклонения положительны, а др.—отрицательны; в рез. их вза-имн.пога­шения ср. знач. отклонения равро нулю. Эти со­ображения говорят о целесообр-ти заменить возм. отклонения их абс. знач-ми или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возм. отклонения заменяют их абс. знач-ми, приходится оперир-ть с абс.ве­л-нами, что приводит иногда к серьезн. затруднениям. Поэтому чаще все-го идут по др.пути, т. е. вычисляют ср. знач. квадрата откл-ия, к-рое и наз. дисперсией. Дисперсией (рассеянием) диск. случ. вел-ны наз.МО квадрата отклонения случ. вел-ны от ее МО:

Пусть сл. вел-на задана законом распред-я:

Тогда квадрат отклонения имеет след. закон распре-я:

По определению дисперсии,

Т.о., чтобы найти дисп-ю, достат-но вычислить сумму произ-й возм. знач-й квадрата отклонения на их вер-ти. Теорема: дисперсия равна разности между МО квадрата случ. Вел-ны Х и квадратом ее МО:

Св-во№1: дисп. постоянной вел-ны С равна нулю. Д-во: по опред-ю дисп-ии

Пользуясь перв. св-вом МО (МО постоянной равно самой посто-янной), получим

Итак:

Св-во№2: постоян. множ-ль можно выносить за знак дисп-ии, возводя его в квадрат:

Д-во: по определению дисперсии имеем

Пользуясь вторым св-вом МО(постоян. множ-ль можно выносить за знак МО), получим

Итак,

Св-во№3: дисперсия суммы двух независ. случ. Вел-н равна сумме дисп-й этих вел-н:

Д-во: по ф-ле для вычисления дисперсии имеем:

Раскрыв скобки и пользуясь св-вами МО суммы неск. вел-н и произ-я двух независ. случ. Вел-н, получим

Итак,

Следствие1: дисп-сия суммы неск. взаимно независ. случ. Вел-ин равна сумме дисп-й этих вел-н. Напр, для 3-х слагаемых:

Следствие2: дис-я суммы постоянной вел-ны и случ. Равна дисперсии случ. Величны:

Д-ва: вел-ны С и Х независимы, поэтому, по третьему св-ву

В силу перв. сво-ва ____________. =>___________________________________ Св-во№4: дисперсия разности двух независ. случ. Вел-н равна сумме их дисперсий:

Д-во: в силу третьего св-ва

По второму св-ву,

Или

===================================================

Билет 11.