Полная группа соб-й.

Теорема: Сумма в-тей соб-й А₁, А₂,…,А_п, обр-щих полн.группу равна 1.

Д-во: так как появл-е одного из соб-й полной группы достоверно, в-ть достоверного соб-я равна 1, то Р(А₁+А₂+ …+А_п)=1 (1)

Любые два соб-я полн. группы несовместны, поэтому можно применить теорему слож-я: Р(А₁+А₂+…+А_п) =Р(А₁) +Р(А₂)+ …+Р(А_п) (2)

Сравнивая (1) и (2), получим Р(А₁) +Р(А₂)+ …+ Р(А_п)=1

Противоположные соб-я.

Против-ными наз. два единственно возм. соб-я, обр-щих полн. группу.

Теорема: сумма в-тей противоп. соб-й равна 1: Р(А)+Р(А)=1

Д-во: Противоп. соб-я обр-ют полн. группу, а сумма в-тей соб-й, обр-щих полн. группу равна 1.

2.Система дифференциальных ур-ний Колмогорова для в-тей соб-й. Переходы системы из S_i в S_g происходит под воздействием простейшего потока с интенсивностью λ_ig. Граф состояния системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным

Очевидно, что для любого момента t: Σ³_i=10 P_i(t)=1

Рассм-м с-му в момент t и задав малый промежуток ∆t, найдем в-ть: P₀(t+∆t) того, что с-ма в момент t+∆t будет находиться в сост-и S₀. Это достигается разн. способами:1.с-ма в момент t находилась в сост-и S₀, а за время ∆t не вышло из него. Вывести с-му можно суммарным прос-тейш. потоком с интенсив-ю (λ₀₁ + λ₀₂), т.е. с в-тью (λ₀₁ + λ₀₂)∆t. 2.с-ма в момент t с в-тями P₁ или P₂ находятся в сост-и S₁ и S₂ и за время ∆t перешла в S₀. Потоком λ₁₀ с-ма перех-т в сост-е S₀. Применяя подобные изм-я, получим P₀(t+∆t)=P₁(t) λ₁₀ ∆t +P₂(t) λ₂₀∆t +P₀(t) [1-(λ₀₁ + λ₀₂)∆t]

При переходе можно получить :

1.P’₀= λ₁₀P₁ + λ₂₀P₂ – (λ₀₁ - λ₀₂)P₀

2.P’₁= λ₀₁ P₀ + λ₃₁P₃ – (λ₀₁+λ₁₃)P₁

3.P’₂=λ₀₂P₀ + λ₃₂P₃ – (λ₂₀ + λ₂₃)P₂

4.P’₃ = λ₁₃P₀ + λ₂₃P₂ – (λ₂₀ +λ₂₃)P₃

===================================================

Билет 8.

(1) Ф-ла полн. в.ти

Пусть люб. соб-е А мож. наступить при усл.появл-я одного из несовм. соб-й В1, В2, В3, Вn, к-рые обр-ют полн. группу. Пусть известны в-ти этих соб-й и усл. в-ти ______________________ соб-я А. Как найти в-ть соб-я А? Ответ дает теорема пол. вер-ти: вер-ть соб-я А, к-рое может наступить лишь при усл. появл-я одного из несовм.соб-й В1, В2.. Вn, обр-щих полн. группу, равна сумме произв-й в-тей кажд. из этих соб-й на соотв-щую усл. в-ть соб-я А:

Д-во: по усл., соб-е А мож. наступить, если наступит одно из несовм. соб-й В1, В2… Вn. Др. словами, появл-е соб-я А означает осущ-ние одного, безразл. какого, из несовм. соб-й В1А, В2А,…. ВnА. Пользуясь для вычисления вер-ти соб-я А теоремой слож-я получим:

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умнож-я вер-тей зависимых соб-й имеем:

Подставив правые части этих равенств в соотн-ниее (*), получим ф-лу полной вер-ти

2.Предмет мат.статистики. Генер. совок-ть и выборка.

Перв. задача мат.статистики – указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез. наблюдений или в рез.спец-но по-ставленных экспериментов. Втор. задача – разработать методы анализа стат. данных в завис-ти от целей исслед-я.

Совр. мат.стат. разрабатывает способы опред-я числа необх. испыт-й до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исслед-я (последовательный анализ) и решает многие др. задачи. ЕЕ опред-ют как науку о принятии решений в усл. неопред.сти.

Выборка – это совок-ть случ-но отобранных объектов. Генеральн. со-вок-ть – это совок-ть объектов, из к-рых производится выборка.

Выборка: повторная – при к-рой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генерал. сов-ть; бесповторная – про к-рой отобранный объект в генер. сов-ть не возвращается (исп-ется на прак-тике). Выборка должна правильно представлять пропорции генер. сов-ти, т.е. она должна быть репрезентативной (будет такой, если ее осущ-ть случайно: кажд. объект выборки отобран случ-но из генер. сов-ти, если все объекты имеют одинак. в-ть попасть в выборку).

======================================================

Билет 30. 1Предмет мат.статистики. Генер. совок-ть и выборка.

Первая задача мат.статистики – указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез-те наблюдений или в рез-те специально поставленных экспериментов. Вторая задача – разработать методы анализа стат. данных в зависимости от целей исследования.

Современная мат.статистика разрабатывает способы опред-я числа необходимых исп-й до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие др. задачи. ЕЕ определяют как науку о принятии решений в условиях неопред.сти.

Выборка – это совок-ть случайно отобранных объектов. Генер. совок-ть – это совок-ть объектов, из к-рых производится выборка.

Выборка: повторная – при к-рой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совок-ть; бесповторная – про к-рой отобранный объект в генеральную совок-ть не возвращается (исп-ется на практике). Выборка должна правильно представлять пропорции генер. совок-ти, т.е. она должна быть репрезентативной (будет такой, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генер. совок-ти, если все объекты имеют одинаковую в-ть попасть в выборку).

==============================================================

Билет№10

(1)Опеределение случ. Вел-ны. Ряд распред-я.

Уже в первой части приводились соб-я, со­стоящие в появлении того или иного числа. Напр,. при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед опред-ть число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случ. причин, к-рые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть вел-на случ.; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возм. знач-я этой вел-ны. Случ. наз. вел-ну, к-рая в рез-те исп-я примет одно и только одно возможное значе-/ ние, наперёд не известное и зависящее от случ." причин, к-рые заранее не могут быть учтены. Будем далее обозначать случ. вел-ны пропис­ными буквами X, Y, Z, а их возм. знач-я—соот­ветствующими строчными буквами х, у, 'г. Напр если случ. вел-на Х имеет три возм. знач-я, то они будут обозначены так: х1, х2, х3.

Вернемся к примерам, приведенным выше. В пер­вом из них случ. вел-на Х могла принять одно из следующих возм. знач-й: 0, 1, 2, ..., 100. Эти знач-я отделены одно от другого промежутками, в к-рых нет возм. знач-й X. Таким образом, в этом примере случ. вел-на принимает отдельные, изолированные возм. знач-я. Во втором примере случ. вел-на могла принять любое из знач-й промежутка (а, Ь). Здесь нельзя отделить одно возможное знач-е от другого промежутком, не содержащим возм. знач-й случ. вел-ны.Уже из сказанного можно заключить о целесообразно­сти различать случ. вел-ны, принимающие лишь отдельные, изолированные знач-я, и случ. вел-ны, возм. знач-я к-рых сплошь заполняют нек-рый промежуток. Дискр. (прерывной) наз. случ. вел-ну, к-рая принимает отдельные, изолированные возм. знач-я с определенными вероятностями. Число возм. знач-й дискр. случ. вел-ны может быть конечным или бесконечным. Непрер. наз. случ. вел-ну, к-рая может принимать все знач-я из некот. конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возм. знач-й непрер. случ. вел-ны беско­нечно.На первый взгляд может показаться, что для задания дискр. случ. вел-ны достаточно пере­числить все ее возм. знач-я. В действительности это не так: случ. вел-ны могут иметь одинако­вые перечни возм. знач-й, а в-ти их — различные. Поэтому для задания дискр. случ. вел-ны недостаточно перечислить все возм. ее знач-я, нужно еще указать их в-ти. Законом распред-я дискр. случ. вел-ны наз. соответствие между возм. знач-ями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналити­чески (в виде ф-лы) и графически. При табличном задании закона распред-я дискр. случ. вел-ны первая строка таблицы содержит возм. знач-я, а вторая—их в-ти:

Приняв во внимание, что в одном исп-и случ. вел-на принимает- одно и только одно возможное знач-е, заключаем, что соб-я _____________________________образуют полную группу; =>, сумма в-тей этих соб-й, т. е. сумма в-тей второй строки таблицы, равна ед-це:

Если множество возм. знач-й Х бесконечно (счетно), то ряд ________________сходится и его сумма равна ед-це. Для наглядности закон распред-я дискр. случ. вел-ны можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки _______,а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру наз. многоугольником распред-я.

=====================================================

(2) Метод наиб. правд-бия Одним из методом точечн. оценки неизвестн. парам-ров распред-я явл. Метод наиб. правд-бия, предложенный Фишером. А) Дискр. случ. Вел-ны. Пусть Х дискр. Случ. Вел-на, к-рая в рез-те n испыт-й приняла знач-я х1, х2, хn. Допустим, что вид закона распред-я вел-ны Х задан, но неизвестен парам-р _____, к-рым опред-ся этот закон. Требуется найти его точечн. оценку. Обозначим вер-ть того, что в рез-те испыт-я вел-на Х примет знач-е х_i ( i=1,2,n ), ч-з р(_________)(стр. 229). Ф-цией правд-бия диск. Случ. Вел-ны Х наз. ф-цию аргумента _____

Где х1, х2, хn – фиксир. числа. В кач. точечн. оценки парам-ра ____ приним. такое его знач-е ______________________, при к-ром ф-ция правдоп-я достигает максимума. Оценку ____ наз. оценкой наиб. прав-доподобия. Ф-ции L и InL достигают макс-ма при одном и том же знач-и ____, поэтому вместо отыскания макс-ма ф-ции L ищут ( что удобнее) мах ф-ции InL. Логарифмич. ф-ей правдоп-я наз. ф-ю InL. Как известно, точку мах ф-ции InL аргумента ____ можно искать, напр. так: 1) найти производную ______

2) приравнять произв-ю нулю и найти критич. точки – корень полу-ченного ур-я (его наз. ур-ем правд-бия). 3) найти вторую произ-ю

если вторая произв-я при __________ отриц-на, то ____ - точка мах. Найденную точку мах ____приним. в кач. оценки наиб. правд-бия парам-ра ___. Метод наиб. правд-бия имеет ряд досто­инств: оцен-ки наиб. правд-бия состоятельны (но они м.б. смещенными), распреде­лены асимптотически нормально (при больших знач-ях л прибли-женно нормальны) и имеют наим. дисперсию по сравн. с др. асимпто-тически нормал. оценками; если для оцениваемого пар-ра 6 сущ-ет эффективн. оценка О*, то ур-е правд-бия имеет единств. реш-е 6*; этот метод наиб. полно исп-ет данные выборки об оцениваемом парам-ре, поэтому он особ-но полезен в случ. малых выборок.

Недостаток метода состоит в том, что он часто требует сложн. вычис-лений. Б) Непрерыв. случ. Вел-ны. Пусть Х непрер. случ. Вел-на, к-рая в рез-те n исп-й приняла знач-я х1, х2, хn. Допустим, что вид плот-ти распред-я f(x) задан, но не известен пар-р _____, к-рым опред-ся эта ф-я. Ф-цией правд-бия непрерыв. Случ. Вел-ны Х наз. ф-ю аргумента:

Где х1, х2, хn – фиксир. числа. Оценку наиб. правд-бия неизвест. пар-ра распред-я непрер. случ. Вел-ны ищут так же как и в случ. дискр.вел-ны.

======================================================

(2) Доверитель. интервал для МО при известной дисперсии. (при известн. СКО стр. 214)Пусть количеств. признак Х генеральн. совок-ти распределен нормально, причем СКО ___ этого распред-я известно. Требуется оценить неизвестное МО __ по выборочной ср. ___. По-ставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие парам-р ___ с надеж-ть ____. Будем рассм-ть выборочную ср. ____ как случ. вел-ну ____ ( ___ изменяется от выборки к выборке) и выборочн. знач-я признака х1, х2, хn – как одинаково распред-ные независ. случ. вел-ны Х1, Х2, Хn ( эти числа также изм-ся от выборки к выборке). Др. словами, МО каждой из этих вел-н равно ___ и СКО - ____. Примем без док-ва, что если случ. вел-на Х распределена норм-но, то выбо-рочная ср. ____, найденная по независ. наблюдениям, также распр-на норм-но. Парам-ры распред-я ____ таковы:

Потребуем, чтобы выполнялось соотн-ниее:

Где____ заданная надеж-ть. Пользуясь ф-лой

Заменив Х на _______ и ______ на __________________, получим

Где _____________. Найдя из последнего рав-ва ________________, можем написать

Приняв во внимание, что вер-ть Р задана и равна ____, окончательно имеем ( чтобы получить рабочую ф-лу, выборочную ср. вновь обозначим ч-з ______)

Смысл полученного соотн-ниея таков: с надеж-тью _____ можно утверждать, что довер. Интервал ___________________________ покрывает неизвестный парам-р ____ точ-ть оценки ____________________. Число t определяется из рав-ва _______________ или _______________; по табл. ф-ции Лапласа находят аргумент t, к-рому соответствует знач-е ф-и Лапласа равное ________.

==================================================

2.Точеч. оценка числ. хар-к. Осн. опред-я. Метод моментов. Точечн. наз. оценку, к-рая опред-ся одним числом. Оценка генер. дисперсии по исправленной выборочной. Пусть из генер. сов-ти в рез. n независ. наблюдений над колич-ным признаком X извлечена повторн. выборка объема n:

знач-я признака х₁х₂ х_к

частоты n₁n₂ n_к

При этом n₁+n₂+ +n_k=n

Требуется по данным выборки оценить неизвестную генер. дисперсию D_r. Если в кач. оценки генер. дисперсии принять выборочн. дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематич. ошибкам, давая занижен. знач-е генер. дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия явл. смещенной оценкой D_r, др. словами, мат.ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генер. дисперсии, а равно

M[D_в]=((n-1)/n)D_r

Получим исправл-ю дисперсию, к-рую обычно обозн-ют ч-з s²

см.стр.212

Исправл-я дисп-я явл, конечно, несмещенной оценкой генер. дисп-и. Действ-но

Итак, в кач. оценки генер. дисп-ии принимают исправл. дисперсию

Для оценки же ср. квадр. отклонения генер. сов-ти исп-ют “исправленное” СкО, к-рое равно квадр. корню из исправл. дисперсии:

Подчеркнем, что s не явл. несмещен. оценкой; чтобы отразить эт. факт, мы будем писать так: “исправленное” ско.

Метод моментов.

ММ, предложенный Пирсоном осн. на том, что начальн. и центральн. эмперич. моменты явл.состоятельными оценками соотв-но начальн. и центр. теор. мом-тов того же порядка. Достоинство метода – сравнит-ая его простота. ММ точечн. оценки неизвестн.парам-ров заданного распред-я сост. в приравнивании теор. моментов рассм-го распред-я соотв-щим эмпир.моментам того же порядка. А.Оценка одного парам-ра: для оценки одного парам-ра достаточно иметь олно ур-е отн-ьно этого парам-ра. Следуя методу м., приравняем, напр, начальн. теор. момент перв. порядка к нач. эмпир. моменту перв. порядка:

стр.227

(1)

МО М(Х), как видно из соотн-ниея

есть ф-я от ,поэтому (1) можно рассм-ть как ур-ие с одним неизв . Решив это ур-е отн-но праметра , тем самым найдем его точечную оценку ¹, к-рая явл. ф-цией от выборочн. ср., => и от вариант выборки:

Б.Оценка 2-х парам-ров: для отыскания 2-х парам-ров необходимы 2 ур-я относительно этих парам-ров

======================================================

Билет№13

(1) Дисперсия случ. вел-ны и ее св-ва

На практике часто требуется оценить рассеяние возм. знач-й случ. вел-ны вокруг ее ср. знач-я. Напр, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, к-рая должна быть поражена.На перв. взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возм. знач-я отклонения случ. вел-ны и затем найти их ср. знач. Однако такой путь ничего не даст, так как ср. знач. отклонения, т. е. М[Х—М(Х)], для люб. случ. вел-ны равно нулю. Это св-во уже было доказано в предыд. параграфе и объясн. тем, что одни возм. отклонения положительны, а др.—отрицательны; в рез. их вза-имн.пога­шения ср. знач. отклонения равро нулю. Эти со­ображения говорят о целесообр-ти заменить возм. отклонения их абс. знач-ми или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возм. отклонения заменяют их абс. знач-ми, приходится оперир-ть с абс.ве­л-нами, что приводит иногда к серьезн. затруднениям. Поэтому чаще все-го идут по др.пути, т. е. вычисляют ср. знач. квадрата откл-ия, к-рое и наз. дисперсией. Дисперсией (рассеянием) диск. случ. вел-ны наз.МО квадрата отклонения случ. вел-ны от ее МО:

Пусть сл. вел-на задана законом распред-я:

Тогда квадрат отклонения имеет след. закон распре-я:

По определению дисперсии,

Т.о., чтобы найти дисп-ю, достат-но вычислить сумму произ-й возм. знач-й квадрата отклонения на их вер-ти. Теорема: дисперсия равна разности между МО квадрата случ. Вел-ны Х и квадратом ее МО:

Св-во№1: дисп. постоянной вел-ны С равна нулю. Д-во: по опред-ю дисп-ии

Пользуясь перв. св-вом МО (МО постоянной равно самой посто-янной), получим

Итак:

Св-во№2: постоян. множ-ль можно выносить за знак дисп-ии, возводя его в квадрат:

Д-во: по определению дисперсии имеем

Пользуясь вторым св-вом МО(постоян. множ-ль можно выносить за знак МО), получим

Итак,

Св-во№3: дисперсия суммы двух независ. случ. Вел-н равна сумме дисп-й этих вел-н:

Д-во: по ф-ле для вычисления дисперсии имеем:

Раскрыв скобки и пользуясь св-вами МО суммы неск. вел-н и произ-я двух независ. случ. Вел-н, получим

Итак,

Следствие1: дисп-сия суммы неск. взаимно независ. случ. Вел-ин равна сумме дисп-й этих вел-н. Напр, для 3-х слагаемых:

Следствие2: дис-я суммы постоянной вел-ны и случ. Равна дисперсии случ. Величны:

Д-ва: вел-ны С и Х независимы, поэтому, по третьему св-ву

В силу перв. сво-ва ____________. =>___________________________________ Св-во№4: дисперсия разности двух независ. случ. Вел-н равна сумме их дисперсий:

Д-во: в силу третьего св-ва

По второму св-ву,

Или

===================================================

Билет 11.

1.Ф-ция распред-я случ. вел-ны и ее св-ва.

Вспомним; что дискр. случ. вел-на м.б. задана перечнем всех ее возм. знач-й в-тей. Такой способ задания не явл. общим, он неприменим, напр, для непрерывн. случ.вел-н. Действит-но, рассм-м случ. вел-ну X, возм. знач-я к-рой сплошь заполняют интервал (а,b) .Можно ли сос-тавить перечень всеx возм. знач-й Х. Очевидно, что этого сделать нель-зя. Этот пример указ-ет на целесообр-ть дать общ. способ задания люб. типов случ. вел-н. С эт. целью и вводят ф-ции распред-я в-тей случ. вел-ны. Пусть х—действит. число. В-ть соб-я, состоящего в том, что Х примет знач-е, меньшее х т. е. в-ть соб-я Х < х, обозначим ч-з F (х). Разумеется, если х изменяется, то изм-ся F(х), т. е. F(x)—ф-ция от х. Ф-цией распред-я наз. ф-цию F (х), опре­-щую в-ть того, что случ.вел-на Х в рез. испыт-я примет знач-е/меньшее х, т. е. F(x)=P(X<x).

Геом-ки это рав-во можно истолковать так:F(x) есть в-ть того, что случ. вел-на примет знач-е, к-рое изображается на числ. оси точкой, лежащей левее точки х. Иногда вместо термина «ф-ция распред-я» тользуют термин «интегральн. ф-я». Теперь можно дать более точн. опред-е непрер. случ.й вел-ны: случ. вел-ну наз. непрер., если ее ф-ция распред-я есть непрер., кусочно-дифференцируемая ф-ция с непрер. производной. Св-ва ф-ции распред-я: Св-во№1 знач-я ф-ции распред-я принадлежат отрезку (0;1): ________________________ Д-во: св-во вытекает из опред-я ф-ции распред-я как в-ти: вер-ть всегда есть неотр. число, не превышающее ед-цы. Св-во№2: F(х) – неубывающая ф-ция, т.е. _____________________________ Д-во: пусть х2>х1. Соб-е, сост-ее в том, что Х примет знач-е, меньшее х2, можно подразделить на след. два не совместных соб-я: 1) Х примет знач-е, меньшее х1, с в-тью Р(Х<х1); 2) Х примет знач-е, удовл-ее нер-ву ____________________, с в-тью ______________________________ По теореме слож-я имеем

Отсюда

Или

Так как любая вер-ть есть число неотр., то_____________________ или _____________, ч.т.д. Следствие 1:Вер-ть того, что случ. Вел-на примет знач-е, закл-ное в интервале (а,b), равна приращ-ю ф-ции распред-я на эт. интервале

Это важн. следствие вытекает из фор-лы (*), если положить х2=b и х1=а. Следствие2: вер-ть того, что непрерывн. случ. Вел-на Х примет одно опред. знач-е, равна нулю. Действ-но, положив в ф-ле (**) ______________________ имеем

Устремим _____ к нулю. Так как Х- непрер. случ. Вел.на, то ф-ция F(х) непрерывна. В силу непрер-ти F(х) в точке х1 разность _____________ ____________ также стремится к нулю; =>, Р(Х=х)=0. Используя это положение, легко убедиться в справедл-ти рав-в:

Напр, равво______________________________________ доказывается так:

Т.о., не представляет интереса говорить о в-ти того, что непрер. случ. вел-на примет одно опред. знач-е, но имеет смысл рассм-ть вер-ть по-падания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полн-ю соотв-ет требованиям практич. Задач. Напр, интересуются вер-тью того, что р-ры деталей не выходят за дозвол. границы, но не ставят вопроса о в-ти их совпадения с проектным размером. Заметим, что было бы неправильным думать, что рав-во нулю вер-ти Р(Х=х1) означает, что соб-е Х=х1 невозможно (если, конечно, не ограни-чиваться клас. опред-ем в-ти). Действ-но, в рез. исп-я случ. вел-на обяз-но примет одно из возм. знач.; в част-ти, это знач-е может оказа-ться равных х1. Св-во№3: если возм. знач-я случ. вел-ны принадлежат интервалу (а; b), то: 1) F(x) =0 при______ 2) ) F(x) =1 при______ Д-во:1) пусть _________. Тогда соб-е _______ невозм-но ( так как знач-й, меньших х1, вел-на Х по усл. не принимает) и, =>, вер-ть его равна ну-лю. 2) пусть ________ Тогда соб-е ________ достоверно (так как все возм. знач-я Х меньше х2) и, =>, вер-ть его равна ед-це. Следствие: если возм. знач-я непрер. случ. вел-ны расположены на всей оси х, то справедливы след. предел. соотн-ниея:

=====================================================

Билет№15

(1) Закон распред-я Пуассона; пуассоновское распред-е как преде-льное для биноминального. Пусть производится п независ. исп-й, в кажд. из к-рых в-ть появл-я соб-я А равна р. Для опред-я в-ти k появл-й соб-яв этих исп-ях исп-ют ф-лу Бернулли. Если же п велико, то польз-ся асимптотич. ф-лой Лапласа. Однако эта ф-ла непригодна, если в-ть соб-я мала (p^O.l). В эт. случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотич. ф-ле Пуассона. Итак. поставим перед собой задачу найти в-ть того, что при оч. больш. числе исп-й, в кажд. из к-рых в-ть соб-я оч. мала, соб-е наступит ровно k раз. Сделаем важн. допущение: Про­изв-е nр сохраняет постоян. знач-й, а именно ________. Как будет следовать из дальнейш.это означает, чти ср. число появлений соб-я в разл. сериях исп-й, т. е. при разл. знач-ях n, остается неизм-м. Воспользуемся ф-лой Бернулли для вычисл-я интересующей нас в-ти:

Так __________то ______ =>,

Приняв во внимание, что n имеет оч. большое знач-е, вместо _________ найдем ___________При этом будет найдено лишь приближ. знач-е отыскиваемой вер-ти: n хотя и велико, но конечно, а при отыскании

предела мы устремим п к бесконеч-ти. Заметим, что скольку произведение пр сохраняет постоян. знач-е, то при ________ вер-ть _________. Итак

|

К Т.о. (для простоты записи знак приближения рав-ва опущен),

Эта ф-ла выраж. закон распр-я Пуассона вер-тей массов.( n –велико) и редких (р мало) соб-й

Когда требуется спрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансир-ть число и производит-ть точек обслуж-я и время ожидания в очереди. Пуассоновским наз. закон распред-я дискр. случ. вел-ны Х числа появл-я некот. соб-я в n-независ. опытах если в-ть того, что соб-е появится ровно m раз определяется по ф-ле.

a=np

n-число проведенных опытов

р-в-ть появл-я соб-я в кажд. опыте

В теории массов.обслуж-я парам-р пуас-кого распред-я опред-ся по ф-ле

а=λt , где λ – интенсив-ть потока сообщений t-время

Необх-мо отметить, что пуас-кое распред-е явл. предел. случаем бином-го, когда исп-й стремится к бесконеч-ти, а в-ть появл-я соб-я в кажд. опыте стремится к 0.

Пуас. распр-е явл. единичн. распр-ем для к-рого такие хар-ки как МО и дисперсия совпадают и они равны парам-ру этого закона распред-я а.

=====================================================

Билет 14.

(1)Схема опытов Бернулли. Бином. зак. распред-я. Ф-ла Бер-нулли Если произв-ся неск. испыт-й, при­чем в-ть соб-я А в кажд. исп-и не зависит от исходов др. исп-й, то такие исп-я наз. независ-ми отн-но соб-я А.В разн. незав. исп-ях соб-е А мож. иметь либо различн. в-ти, либо одну и ту же в-ть. Будем далее рассм-ть лишь такие независ. исп-я, в к-рых соб-е А имеет одну и ту же в-ть.Ниже воспользуемся поня-тием сложн. соб-я, по­нимая под ним совмещение неск. отдельн. соб-й, к-рые наз. простым.Пусть производится n независ. исп-й, в кажд. из к-рых соб-е А мож.появиться либо не появиться. Условимся считать, что в-ти соб-я А в кажд. исп-ии одна и та же, а именно равна р. =>, в-ть ненаступл-ия соб-я А в кажд. исп-и также постоянна и равна q=1-р. Поставим перед собой задачу вычислить в-ть того, что при п исп-ях соб-е А осуществится ровно k раз и, =>, не осущ-ся n-k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы соб-е А повторилось ровно k раз в опред.й по=>сти. Напр, если речь идёт о появл-и соб-я А три раза в 4 исп-ях, 'тo возм-ны след. сложн. соб-я: АААА, АААА, АААА, АААА. Запись АААА означ., что в перв., втор. и третьем исп-ях соб-е А наступило, а в четверт. исп-и оно не появилось, т. е. наступило про-тивоп. соб-е А; соответственный смысл имеют и др. записи.Искомую в-ть обозначим,_________ Напр, символ Р5(3) означает в-ть того, что в пяти исп-ях соб-е появятся ровно 3 раза и, =>, не наступит 2 раза. Поставленную задачу можно решить с пом. так наз. ф-лы Бернулли. Вывод ф-лы Бернуллн. В-ть одного сложн. соб-я, сост-го в том, что в п исп-ях соб-е А наступит k раз и не наступит n—k раз, по теореме умнож-я в-тей независ. соб-й равна __________Таких сложн. соб-й м.б. столько, ск. можно составить сочетаний из п эл-тов по k эл-тов, т.е. ____. Так как эти сложн. соб-я несовместны, то по теореме слож-я в-тей несовм. соб-й иском. в-ть равна сумме в-тей всех возм. сложн. соб-й. Поскольку же в-ти всех этих сложн. соб-й одинаковы, то иском. в-ть (появл-я k раз соб-я А в п исп-ях) равна в-ти одного сложн. соб-я, умноженной на их число:

или

Полученную ф-лу наз. ф-лой БернуллиПусть производится га независ. исп-й, в кажд. из к-рых соб-е А может появиться либо не появиться. В-ть наступления соб-я во всех

исп-ях постоянна и равна р (=>, в-ть непоявл-я q ==1—р). Рассм-м в кач. дискр. случ. вел-ны X число появлений соб-я А в этих исп-ях. Поставим перед собой задачу: найти закон распред-я вел-ны X. Для ее реш-я требуется опред-ть возм. знач-я Х и их в-ти. Очевидно, соб-е А в n исп-ях мож. либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз. Т.о., возм. знач-я Х таковы: ________________________________________Остается найти в-ти этих возм. знач-й, для чего достаточно восполь­з-ся ф-лой Бернулли:

(*)

где k=0, 1, 2, ..., n

Ф-ла (*) и явл. аналитич. выраж-ем иском. закона распред-я. Биномиальным наз. распред-е в-тей, опред-мое ф-лой Бернулли. Закон назван «бино­м-ым» потому, что правую часть рав-ва (*) можно рассм-ть как общ. член разложения бинома Ньютона:

Т.о., перв. член разлож-я _____ опреде­ляет в-ть наступл-я рассм-го соб-я n раз в n независ. исп-ях; втор. член ____________опред-ет в-ть наступл-я соб-я n—1 раз; ...; последн. член q" опред-ет в-ть того, что соб-е не появится ни разу.Напишем бином. закон в виде таблицы:

Бином-ым наз. законы распр-я случ. вел-ны Х числа появл-я не-кот. соб-я в n опытах если в-ть р появл-я соб-я в кажд. опыте постоянна

Сумма в-тей представляют собой бином Ньютона

Для опред-я числ. хар-к в биномиальное распред-е подставить в-ть к-рая определяется по ф-ле Бернули.

При биномиальном распределении дисперсия равна мат. Ожиданию умноженному на в-ть появл-я соб-я в отдельном опыте.

2.Интервальн. оценка числ. хар-к. Доверительн. интервал. Осн. опред-я.Точечной наз. оценку, к-рая опред-ся одним числом. При выборке малого объема точечн. оценка мож. значит-но отличаться от оцениваемого парам-ра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольш. объеме выборки следует польз-ся интервальн. оценками.

Интервальной наз. оценку, к-рая определяется 2-мя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точ-ть и надеж-ть оценок. Пусть найденная по данным выборки статистич. хар-ка служит оценкой неизвестн. парам-ра .Будем считать постоян. числом. Если >0 и < , то чем меньше , тем оценка точнее. Т.о., полож. число хар-ет точ-ть оценки.

Однако стат. методы не позвол. категорич-ки утверждать, что оценка удовл. нер-ву ; можно лишь говорить о в-ти , с к-рой это рав-во осущ-ся.

Надеж-тью (доверительной в-тью) оценки по наз. в-ть , с к-рой осущ-ся нерав-во . Обычно надеж-ть оценки задается наперед, причем в кач. берут число, близкое к ед-це.Наиб. часто задают надеж-ть равную 0.95; 0.99; 0.999.Пусть в-ть того, что равна :

см.стр213

Заменив нерав-во равносильным ему двойным нерав-вом или имеем

Это соотне следует понимать так: в-ть того, что интервал заклет в себе неизвестн. парам-р , равна .

Доверительным интервалом наз. интервал , к-рый покрывает неизвестн. парам-р с заданной надеж-тью .

От выборки к выборке будут меняться концы доверительного интервала, т.е. доверит. границы сами являются случайными вел-нами.

=====================================================

Билет 12.

(1) МО дискр. Случ. Вел-ны

МО-ем дискр. случ. Вел-ны наз. сумму произведений всех ее возм. знач-й на их в-ти. Пусть случ. вел-на Х может принимать только знач-я х1, х2, …хn, вер-ти к-рых соотв-но равны р1, р2….рn. Тогда МО М(х) случ. вел-ны Х опред-ся рав-вом:

Если дискр. случ. Вели-наХ приним. счетное мн-во возм. знач-й, то

Причем МО сущ-ет, если ряд в правой части рав-ва сходится абс-но. Итак, МО числа появлений соб-я в одной испыт-и равно вер-ти этого соб-я. Св-во№1: МО постоян. вел-ны равно самой постоянной: М(С)=С. Д-во: будем рассм-ть постоянную С как дискр. случ. вел-ну, к-рая имеет одно возм. знач-е С и принимает его с вер-тью р=1. След-но: М(С)=С*1=С. Св-во№2: постоян. множ-ль можно выносить за знак МО: М(СХ)=СМ(Х). Д-во: пусть случ. Вел-на Х задана законом рас-пред-я вер-тей:

Напишем закон распр-я случ. Вел-ны СХ:

МО случ. Вел-ны СХ:

Итак:

Св-во№3: МО произв-я двух независ. случ. Вел-н равно произв-ю их матем. Ожиданий:________________________. Д-во: пусть независ. случ. Вел-ны Х и У заданы своими законами распред-я вер-тей:

Составим все знач-я, к-рые может принимать случ. Вел-на ХУ. Для этого перемножим все возм. знач-я Х на кажд. возм. знач-е У; в итоге получим ______________. Напишем закон распред-я ХУ, предполагая для простоты, что все возм. знач-я произв-я различны (если это не так, то д-во производится аналогично):

МО равно сумме произведений всех возм. знач-й на их вер-ти:

Или

Итак,

Следствие: МО произв-я неск. взаимно независ. случ. Вел-н равно произв-ю их мат. Ожиданий. Напр, для трех случ. Вел-н имеем:

Св-во№4: МО суммы двух случ. Вел-н равно сумме МО слагаемых:

Д-во: пусть случ. вел-ны Х и У заданы следующими законами расп-я:

Составим все возм. знач-я вел-ны Х+У. Для этого к кажд. возм. знач-ю Х прибавим кажд. возм. знач.е У; получим ____________________________________. Предположим для прос-тоты, что эти возм. знач-я различны, и обозначим их вер-ти соотв-но ч-з __________________ МО вел-ны Х+У равно сумме произв-й возм. знач-й на их вер-ти:

Или

Докажем, что _________________. Соб-е, состоящее в том, что Х примет знач-е х1 (вер-ть этого соб-я равна р1) влечет за собой соб-е, к-рое сост. в том. Что Х+У примет знач-е х1+у1 или х1+у2 (вер-ть этого соб-я по теореме слож-я равна р11+р12), и обратно. Отсюда и следует, что р11+р12=р1. Аналогично док-тся рав-ва

Подставляя правые части этих равенств в соотн-ниее (*) получим

Или окончательно

Следствие: мо суммы неск. случ. Вел-н равно сумме МО слагаемых. Напр для трех слагаемых вел-н имеем:

2.Выборочн. оценивание ф-лой распред-я. Гистограмма.

Для нагляд-ти строят разл. гр-ки стат. распред-я и , в част-ти, поли-гон и гистограмму. Полигон исп-ся для дискр. вел-н. В случае непрер. признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в к-ром заключены все наблюдаемые знач-я признака, разбивают на неск. частичн. интервалов длиной h и находят для кажд. частичн. интервала n₁ – сумму частот вариантов, попавших в I-тый интервал.

Гистограммой частот наз.ступенчатую фигуру, сост-ю из прямо-угольников, основаниями к-рых служат частичн. интервалы длиною h, а высоты равны отн-ю n_i/h (плот-ть частоты). Для построения гисто-граммы частот на оси абсцисс отклад-ют частичн. интервалы, а над ни-ми проводят отрезки, пар-ные оси абсцисс на расст. n_i/h. Площадь гис-тограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой отн-ных частот наз. ступенчатую фигуру, основаниями к-рой служат частичн. интервалы длиною h, а высоты равны отн-нию W_i/h (плот-ть отн-ной частоты). Для построения этой гист-мы на оси абсцисс отклад-ют частичн. интервалы, а над ними проводят отрезки, пар-ные оси абсцисс на расст. W_i/h. Площадь I-го частичного п/у равна hW_i/h = W_i - отн-ной частоте вариант, попавших в I-й интервал. =>, площадь гистограммы отн-ных частот равна сумме всех отн-ных частот, т.е. ед-це.

====================================================

Билет 16.

(1)Геом. закон распред-я дискр. сл. Вел-ны. Пусть произв-ся незав. исп-я, в кажд. из к-рых в-ть появл-я соб-я А равна р (0 < р<1) и, =>, вер-ть его непоявл-я q=1-р. Исп-я заканчиваются, как только появится соб-е А. Т.о., если соб-е А появилось в k-том исп-и, то в предшеств. k-1 исп-ях она не появилось. Обозначим ч-з Х дискрет. Случ. Вел-ну – число исп-й, к-рое нужно провести до перв. появл-я соб-я А. Оче-видно, возм. знач-ями Х явл. Натур. числа: х1=1, х2=2. Пусть в перв. k-1 исп-ях соб-е А не наступило, а в k-том исп-и появилось. Вер-ть этого «сложн. соб-я», по теореме умнож-я вер-тей независ. соб-й: Р(Х=k)=q^k-1p (*). Полагая k=1,2,… в ф-ле (*), получим геом. прогрессию с перв. членом р и знаменателем q (0 < q<1): р, qp, q²p…,q^k-1p, …(**). По этой причине распред-е (*) наз. геом.. Легко убедиться, что ряд (**) сходится и сумма его равна ед-це. Действительно, сумма ряда (**) р/(1-q)=р/р=1

2.Проверка гипотез, ошибки 1-го и 2-го рода. Мощ-ть критерия.

Часто необх-мо знать закон распред-я генер. совок-ти. Если закон распред-я неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет опред. вид (назовем его А), выдвигают г-зу: ген.совок-ть распределена по закону А. Т.о., в этой г-зе речь идет о виде предполагаемого распред-я.Возможен случай, когда закон распред-я известен, а его парам-ры неизвестны. Если есть основания предпо-ложить, что неизвестный парам-р @ равен опред.му знач-ю @₀, то выдвигают г-зу: @=@₀. Т.о., в этой г-зе речь идет о предпо-лагаемой вел-не парам-ра одного известного распред-я.Стат. наз. г-зу о виде неизвестного распред-я, или о парам-рах извест-ных распред-й. Нулев. (основной) наз. выдвинутую г-зу Н₀. Конкурирующей (альтернативной) – г-зу Н₁, к-рая прот-чит нулев.. Простая - содержащая только одно предполож-е. Сложная – сост. из конечн. или бесконечн. числа простых гипотез.Критич. обл-тью наз. совок-ть знач-й критерия, при к-рых нулевую г-зу отвергают. Обл-тью принятия г-зы (обл-тью допустимых знач-й) наз. совок-ть знач-й критерия, при к-рых г-зу принимают. Основной прин-цип проверки стат. г-з можно сформул-ть так: если наблюдаемое знач-е критерия принадл. критич. обл-ти – г-зу отвергают, если наблюдаемое знач-е критерия принадл. обл-ти принятия г-зы – г-зу принимают.

Стат. критерием наз. случ. вел-ну К, к-рая служит для проверки нулев. г-зы. Напр, если проверяют г-зу о рав-ве дисперсий двух норм. ген. совок-тей, то в кач. критерия К принимают отн-ниее исправленных выборочн. дисперсий.Выдвинутая г-за м.б. правильной или неправ-ой, поэтому возникает необх-мость ее проверки. В итоге стат. проверки г-зы в двух случаях м.б. принято неправ. реш-е, т.е. м.б. допущены ошибки двух родов. Ошибка 1-го рода сост.в том, что будет отвергнута прав. г-за. Ошибка 2-го рода – будет принята неправ-я.В-ть совершить ошибку перв. рода принято обозначать ч-з λ; ее наз. ур-нем значи-мости. Наиб. часто ур-нь значим-ти приним. равным 0.05 или 0.01.Если напр принят ур-нь значимости 0.05, то это означает, что в пяти случаях из100имеется риск допустить ошибку перв. рода.Мощ-тью критерия наз. в-ть попадания критерия в критич. обл-ть при условии, что спра-ведлива конкурирующая г-за. Др. словами, мощ-ть критерия есть в-ть того, что нулевая г-за будет отвергнута, если верна конкурирующая г-за. Если ур-нь значимости уже выбран, то критич. обл-ть следует стро-ить так, чтобы мощ-ть критерия была максимальной. Выполнение эт. требования должно обесп-ть миним. ошибку втор. рода, что, конечно, желательно.

=====================================================

№18(1) МО непрер. сл. вел-ны и его свойства. (стр. 125) МОм непрер. случ. Вел-ны Х, возм. знач-я к-рой принадлежат отрезку (а;б), наз. опред. интеграл

Если возм. знач-я принадлежат всей оси Ох, то

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. сущ-ет интеграл _______________________. Если бы это требование не выполнялось, то знач-е интеграла зависело бы от скорости стремления ( в отдельности) нижнего предела к _________, а верхнего к _______________.

№18(2) Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генер. дисперсией норм. совок-ти. Пусть генер. совок-ть распределена нормально, причем генер. дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотет. (предполагаемому) знач-ю _____ (стр. 293). На прак­тике ___ устанавливается на осн. предшествую-|щег6 опыта иди теор-ки. Пусть из генер. совок-ти извлечена выборка объема ___ и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия __________________ степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном ур-не значи­мости проверить рулевую г-зу, состоящую в том, что генер. дисперсия рассм-мой совок-ти равна гипотет. знач-ю _____. Учитывая, что S² явл. несмещенной оценкой генер. дисперсии, нулевую г-зу можно записать так:

Итак, требуется проверить, что МО исправленной дисперсии равно гипотет. »иачению генер. дисперсии. Др. словами, тре­буется, установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипот. генер. дисперсии. На' практике рассм-мая г-за проверяется, если нужно Проверить точ-ть приборов, инструментов, станков, методов исследования и уст-ть тех. процессов. Напр, если известна допустимая хар-ка рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная ______ найденная по выборке окажется значимо больше _______ станок требует подналадки. В кач. критерия проверки нулев. г-зы примем случ. вел-ну ___________. Эта вел-на случ., потому что в разных опытах S² принимает различные, наперед неизвестные знач-я. Поскольку можно доказать, что она имеет распред-е _______________степенями свободы, обозначим

ч-з ____.Итак, критерий проверки нулев. г-зы

Критическая обл-ть строится в зависимости от вида конкурирующей г-зы. Первый случай. Нулевая г-за _______________ Конкурирующая г-за __________________

В этом случае строят правостороннюю критич. обл-ть, исходя из требования, чтобы в-ть попадания критерия в эту обл-ть в предположении справедливости нулев. г-зы была равна принятому ур-ню значимости:

Критич. точку ___________ находят по табл. критич. точек распред-я ______, тогда правосторонняя критическая обл-ть определяется нерав-вом _________, а обл-ть принятия нулев. г-зы - нерав-вом _______________. Обозначим знач-е критерия, вычисленное по данным наблюдений, ч-з __________ и сформулируем правило проверки нулев. г-зы. Правило 1. Для того чтобы при заданном ур-не значимости проверить нулевую г-зу _____________ о рав-ве неизвестной генер. дисперсии норм. совок-ти гипотет. знач-ю при конкурирующей г-зе _______________ надо вычислить наблюдаемое знач-е критерия ________________ и по табл. критич. точек распред-я заданному ур-ню значимости __ и числу степеней свободы __________критич. точку ________.

Если ____________ - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если ____________ - нулевую г-зу отвергают. Второй случай. Нулевая г-за ______________.Конкурирующая г-за ___________________.

В этом Случае строят двустороннюю критич. обл-ть, исходя из требования, чтобы в-ть попа­дания критерия в эту обл-ть в предположении справед­ливости нулев. г-зы была равна принятому ур-ню

значимости ____. Критич. точки—левую и правую границы критич. обл-ти—находят, требуя, чтобы в-ть по­падания критерия в каждой из двух интервалов критич. обл-ти была равна __/2:

В табл. критич. точек распред-я ____ ука­заны лишь «правые» критич. точки, поэтому возни­кает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критич. точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что соб-я ___________________________ противоположны и, =>, сумма их в-тей равна ед-це:

Отсюда

Мы видим, что левую критич. точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по табл.), исходя из требования, чтобы вер-ть попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна ____________. Правило 2 для того чтобы при заданном ур-не значимости ____ проверить нулевую г-зу о рав-ве неизвестной генер. дисперсии ____ норм. совок-ти гипотет. знач-ю ______ при конкурирующей г-зе _______________, надо вычислить наблюдаемое знач-е критерия ________________ и по табл. найти левую критич. точку __________________ и правую критич. Точку ______________. Если ________________________ - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если ________________ или ____________________ - нулевую г-зу отвергают. Третий случай: конкурирующая г-за ______________. Правило 3: при конкурирующей г-зе _______________ находят критич. точку _____________. Если ________________________ - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если ________________ или ____________________ - нулевую г-зу отвергают.

======================================================== Билет 17.

(1) Опред-е непрер. с.в. Плот-ть распред-я и ее св-ва. Непрерывную случ. Вел-ну можно задать используя ф-цию плот-ти распред-я или плот-ти вер-ти. Плот-ть распред-я вер-тей непрер. случ. вел-ны Х наз. ф-цию f(х) – перв. производную от ф-ции распред-я F(х):_______________. Из этого опред-я следует, что ф-я распред-я явл. первообразной для плот-ти распред-я. Св-ва: св-во№1: плот-ть распр-я неотриц. Ф-я ______. Д-во: ф-я распр-я неубывающая ф-я, =>, ее производная ___________ ф-я неотриц-ая. Геом-ки это св-во означает, что точки, принадл-щие гр-ку плот-ти распр-я, располо-жены либо над осью Ох, либо на этой оси. Гр-к плот-ти расп-я наз. кривой распред-я. Св-во №2: несобственный интеграл от плот-ти распр-я в пределах от ____________ равен ед-це:

Д-во: несобствен. Интеграл _______________ выражает вер-ть соб-й, состоящего в том, что случ. вел-на примет знач-е, принадл-щее интервалу __________. Очевидно, такое соб-е достоверно, =>, вер-ть его равна ед-це. Геом-ки это означает, что вся площадь криволин. трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распр-я равна ед-це. В част-ти, если все возм. знач-я случ. вел-ны принадлежат интервалу (а,b), то