Билет1.

1. Класс. ф-ла подсчета вер-ти. Комбинаторика.

Вер-ть есть число, хар-щее степень возм-ти появ-я соб-я. Вер-ю соб-я А наз. отн-е числа благопр-щих эт. соб-ю исходов к общ. числу всех равновозм. несовместн. элем. исходов, обр-щих полн. группу. Благопр-щие – те элем. исходы, в к-рых интересующее нас соб-е наступает.

Итак, в-ть соб-я А опред-ся ф-лой: Р(А)= m/n, где m-число элем. исходов, благопр-щих А; n – число всех возм. элем. исходов испы-тания. Здесь предпол-ся, что элем.исходы несовместимы, равновоз-можны и обр-ют полн. группу. Из опред-я вер-ти вытекают след. ее св-ва:1.в-ть достоверн. соб-я равна ед-це. 2.в-ть невозм-го соб-я равна ну-лю. 3.в-ть случ. соб-я есть полож. число, заключенное между нулем и

ед-цей.

Комбинаторика изуч. кол-во комбинаций, подчиненных опред. усл-ям, к-рые можно составить из эл-тов, безразлично какой природы, задан-ного конечного мн-ва. При непоср-ном вычислении в-тей часто исп-ют ф-лы комбинаторики.

Перестановками наз. комбинации, состоящие из одних и тех же п разл. эл-тов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возм. перестановок Р_п=п!

Размещениями наз.комбинации, составленные из п разл. эл-тов по м эл-тов, к-ые отл-ются либо с-вом эл-тов, либо их порядком.

Ф-ла: А_n^m=n(n-1)(n-2)….(n-m+1)

Сочетаниями наз. комбинации, составленные из п разл. эл-тов по м эл-тов, к-рые отличаются хотя бы одним эл-том. Число сочетаний

C_n^m=n!/(m!(n-m)!)

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны раввомА_n^m=P_m C_n^m

2.Проверка г-зы о рав-ве генер. ср. при известных дисперсиях.

Генеральн. совок-ти х и у распределены нормально и дисперсии известны. По независ. выборкам объемов n и m найдены выборочн. ср. . Нужно по выборочн. ср. при заданном ур-не значимости альфа проверить нулевую г-зу, состоящую в том, что генер. ср. (мат.ожидания) равны между собой: Н₀: М(Х)=М(У).

В кач-ве критерия проверки нулев. г-зы

Эта вел-на случайна, потому что в разл. опытах приним. разные, наперед неизвестные знач-я. Критерий z нормированная нормальн. случ. вел-на Действительно, вел-на Z рас-пределена нормально, т.к. явл. линейн. комбинацией нормально распр-ных вел-н ; сами эти вел-ны распр-ны нормально как выборочные средние, найденные по выборкам, извле-ченным из нормал. генер. совок-тей; Z - нормированная вел-на потому, что М(Z)=0; при справедливости нулев. г-зы σ(Z)=1, т.к. они независимы. Критическая обл-ть строится в завис-ти от вида конкури-рующей г-зы.

Правило1. Чтобы при задан. ур-не значимости альфа проверить нулев. г-зу Н₀:М(Х)=М(У) о рав-ве мат.ожиданий двух норм. генер. совок-тей с известными дисперсиями при конкурирующей г-зе Н₁:М(Х) не равно М(У), надо вычислить наблюденное знач-е критерия

и по табл. Лапласа найти критич. точку по рав-ву

Если |Z_набл| <z_кр-нет оснований отвергнуть нулевую г-зу. Если |Z_набл| >z_кр -нулевую г-зу отвергают.

Правило 2. Тоже, что и 1, только Н₁:М(Х)>М(У);

ЕслиZ_набл <z_кр -нет оснований отвергнуть нулевую г-зу

Если Z_набл >z_кр -нулевую г-зу отвергают.

Правило3.

При конкурирующей г-зе Н₁:М(Х)<М(У) надо вычислить Z_набл и сначала по табл. ф-ции Лапласа найти “вспомогательную точку” z_кр по равенству

, а затем положить z’_кр= -z_кр

Если Z_набл>-z_кр - нет оснований отвергнуть нулевую г-зу

Если Z_набл<-z_кр - нулевую г-зу отвергают.

=====================================================

Билет 2.

1.Случ. соб-я, их виды. Понятие в-ти.

Случайным наз. соб-е, к-рое при осущ-нии совок-ти усл-й S может ли-бо произойти, либо не произойти. Соб-я наз-ют несовместимыми, если появл-е одного из них искл-ет появл-е др. соб-й в одном и том же ис-пыт-и. Неск. соб-й обр-ют полн. группу, если в рез. испыт-я появится хотя бы одно из них. Др. словами, появл-е хотя бы одного из соб-й полн. группы есть достоверн. соб-е. В част-ти, если соб-я, обр-щие полн. группу, попарно несовместны, то в рез. испыт-я появится одно и только одно из этих соб-й. Соб-я наз. равновозм., если есть основание считать, что ни одно из них не явл. более возм., чем другое.

В-ть см. билет 1 и 5

2.Закон распред-я числа соб-й за фиксированный промежуток времени. Закон распред-я интервала времени между соб-ями в простейшем потоке

======================================================

Билет 4.

1.Пространство элементарных соб-й. Операции над соб-ями.

Мн-во всех элем. соб-й, к-рые могут появиться в исп-и, наз. простр-вом элем. соб-й, а сами элем. соб-я - точками эт. простр-ва. Оп-ции слож-я и умн-я в соб-и обладают след. св-вами:

1.А+В=В+А - коммутативность слож-я

2.А+(В+С)=(А+В)+С - ассоциативность слож-я

3.АВ=ВА - коммутативность умнож-я

4.А(ВС)=(АВ)С - ассоциативность умнож-я

5.А(В+С)=АВ+АС -; А+ВС=(А+В)(А+С) - законы дистрибутивности

см.1лекцию - квадратики

2.Предельная вер-ть состояния. С-ма линейн. Алгебраическ. Ур-ний для предельн. Вер-тей.

======================================================

Билет 5.

1.Аксиоматическое опред-е вер-ти. Далее приведем аксиомы, опред-щие в-ть: 1) кажд. соб-ю А поставлено в соотв-е неотриц-ное действит-е число Р(А). Это число наз-ся вер-тью соб-я А. 2) в-ть достоверн. соб-я равна 1. 3) в-ть наступл-я хотя бы одного из попарно несовместных соб-й равна сумме в-тей этих соб-й. Исходя из этих аксиом, св-во в-тей и завис-ти между ними выводят в кач-ве теорем.

2.Процесы гибели и размножения. Ф-ла для нахождения предел. в-тей. В теории массового обслуж-я распространен спец. класс случ. процессов, к-рые наз-ся гибелью и размножением.

Рассм-м упорядоченное мн-во состояния системы от S₀,S₁....S_k.

Переходы могут осущ-ся из любого сост-я только в сост-е с соседними номерами, т.е. из сост-я S_k-1 в сост-е S_k и т.д Получим λ₀₁ P₀=λ₁₀ P₁

Для состояния S₁: (λ₁₂ +λ₁₀)P₁= λ₀₁ P₀+ λ₂₁ P₂

======================================================

Билет№3

(1) Понятие геом. вер-ти. Относит. частота. Чтобы преодолеть недо-статок классич. опред-я вер-ти, состоящий в том, что оно неприменимо к испыт-ям с бесконечн. числом исходов, вводят геом. вер-ти – вер-ти попадания точки в обл-ть (отрезок, часть пл-ти). Пусть отрезок l сос-тавляет часть отрезка L . На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение след. предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вер-ть попадания точки на отрезок l пропорциональна длине эт. отрезка и не зависит от его расположения отн-но отрезка L. В этих предположениях вер-ть попадания точки на отрезок l опред-ся рав-вом: Р=Длина l/Длина L. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение след. предположений: брошенная точка может оказаться в люб. точке фигуры G, в-ть попад-я брошенной точки на фигуру g пропорц-на площади эт. фигуры и не зависит ни от ее располож-я отн-но G, ни от формы g. В этих предположениях в-ть попад-я точки в фигуру g опред-ся рав-вом: Р= Площадь g/Площадь G. Относит. частота наряду с в-тью принадлежит к осн. понятиям ТВ Относит. частотой соб-я наз. отн-е числа исп-й, в к-рых соб-е поя-вилось к общему числу факт-ки произведенных исп-ий. Т.о., отн. частота соб-я А опред-ся ф-лой W(A)=m/n, где т—число появлений соб-я, п—общее число исп-й.

Сопоставляя опред-я в-ти и отн-ной частоты, заключаем: опред-е в-ти не требует, чтобы исп-я производились в действит-ти; опред-е же отн. частоты предпола­гает, что исп-я были произведены факт-ки. Др. словами, вер-ть вычисляют до опыта, а отн. частоту—после опыта. Пример 1. По цели произвели 24 выстрела, причем было зареги­стрировано 19 попаданий. Отн. частота поражения цели W(А)= 19/24. Длительн. наблюд-я показали, что если в одина­к. усл-ях произ-водят опыты, в кажд. из к-рых число исп-й достаточно велико, то отн. частота обнаруживает св-во устойч-ти. Это св-во сост. в том, что в различн. опытах отн. частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено исп-й), колеблясь около некот. по­стоян. числа. Оказалось, что это постоян. число есть в-ть появл-я соб-я. Т.о., если опытным путем установлена от­н. частота, то полученное число можно принять за приближен. знач-е в-ти. Подробнее и точнее связь между отн. часто­той и в-ью будет изложена далее. Теперь же проиллюстри-руем св-во устойч-ти на примерах. Пример 2. По данным шведской статистики, отн. час­тота рождения девочек за 1935 г. по месяцам хар-ся сле­д. числами (числа расположены в порядке следования меся­цев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482;0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Отн. частота колеблется около числа 0,482, ко-рое можно принять за приближ. знач-е в-ти рождения девочек. Заметим, что статистич. данные разл. стран дают при­мерно то же знач-е отн. частоты.

2 Марковские случ. процессы. Размеченный гр-к состояний Процесс работы системы массового обслуж-я СМО представл. собой случ. процесс. Процесс наз. процессом с дискр. составляющими, если переход из сост-я в сост-е происх. мгновенно (скачком). Процесс работы СМО представл. собой случ. процесс с дискр. сост-ниями и непрерывным временем. Это означает, что состо-е СМО меняется скачком в случ. моменты появл-я нов. соб-й. Мат. анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы – Марков-ский. Случ. процесс наз. Марковским без последствия, если для любого момента времени t₀ , вероятностные хар-ки процесса зависят только от его сост-я в дан. момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это сост-е. Пример Марк. процесса – система счетчика в такси. Сост-е системы в момент t хар-ется числом пройденный км. Пусть в этот момент S₀ вер-ть, то t>t₀ , счетчика покажет: число км. S₁ зависит от S₀ , но не зависит от того, в какие моменты времени изменились показания счетчика.

=====================================================

Билет№7

(1) Условн. вер-ть. Теорема умн-я в-тей. Произв- ем двух соб-й А и В наз. соб-е АВ, состоящее в совместном появл-и этих соб-й ( А-деталь годная, В-деталь окрашенная, АВ- годная и окрашенная). Произ-ем неск.соб-й наз. соб-е сост-ее в совместном появл-и всех этих соб-й. Во введении случ. соб-е определено как соб-е, к-рое при осущ-нии совок-ти усл-й S может произойти или не произойти. Если при вы­числении в-ти соб-я никаких др. ограничений, кроме усл-й S, не нала-гается, то такую в-ть наз. безусловной; если же налагаются и др. доп. усл-я, то в-ть соб-я наз. условной. Напр, часто вычисляют в-ть соб-я В при доп. усл-и, что произошло со­б-е А. Заметим, что и безусл. в-ть, строго говоря, явл. условной, поскольку предполагается осущ-ние усл-й S.Усл. вер-тью Ра(В) наз. в-ть соб-я В, вычисленную в Предположении, что соб-е А наступило: Ра(в)=Р(АВ)/Р(А) (Р(А)>0). Рассм-м два соб-я А и В, пусть в-ти Р(А) и Ра(В) известны. Как найти совмещение этих соб-й,т.е. в-ть того что появится и соб-е А и соб-е В. Ответ на этот вопр. дает теорема умн-я: вер-ть совместн. появл-я двух соб-й равна произв-ю в-ти одного из них на усл. вер-ть другого, вычис-ленную в предположении, что перв. соб-е уже наступило Р(АВ)= Р(А)*Ра(В). Д-во : по опред-ю усл. вер-ти Ра(В)=Р(АВ)/Р(А), отсюда Р(АВ)=Р(А)*Ра(В). Следствие: вер-ть совместн. появл-я неск. соб-й равна произв-ю в-ти одного из них на усл. в-ти всех остальных, причем вер-ть каждого послед. соб-я вычисляется в предположении, что все предыдущие соб-я уже появились

Где______________________ вер-ть соб-я ______. Вычисленная в предположении, что соб-я ___________________ наступили. В частности, для трех соб-й___________________________________ (порядок может быть выбран любой, безразлично какое соб-е считать перв., вторым).

======================================================

Билет№9

(1) Ф-ла Бейеса

Пусть соб-е А мож. наступить при усл. появл-я одного из несовм. соб-й В1, В2,… Вn, обр-щих полн. группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих соб-й наступит, их наз-т г-зами. Вер-ть появл-я соб-я А опред-ся по ф-ле полн. вер-ти:

Допустим, что произведено испыт-е, в рез. к-рого появилось соб-е А. Поставим своей задачей опред-ть, как изменились (в связи с тем, что соб-е А уже наступило) вер-ти гипотез. Др. словами, будем искать усл. вер-ти.

Найдем сначала усл. вер-ть Ра(В1). По теореме умнож-я имеем

Отсюда

Заменив здесь Р(А) по ф-ле (*), получим

Аналогично выводятся ф-лы, опред-щие усл. вер-ти остальных гипотез, т.е. усл. вер-ть любой г-зы ______________ м.б. вычис-лена по ф-ле

Полученные ф-лы наз. ф-лами Бейеса ( по имени англ. Математика, к-рый их вывел в 1764г). Эти фор-лы позвол. переоценить в-ти гипотез после того, как становится известным рез-т испыт-я, в итоге к-рого появилось соб-е А.

======================================================

Билет 6.

1. Теорема слож-я в-тей.

Суммой А+В двух соб-й А и В наз. соб-е, сост-ее в появлении соб-я А, или соб-я В, или обоих этих соб-й. Суммой неск. соб-й наз. соб-е, к-рое сост. в появл-и хотя бы одного из этих соб-й.

Теорема. В-ть появл-я одного из двух несовм. соб-й, безразл. какого, равна сумме в-тей этих соб-й: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Док-во:n-общ. число возм. элем. исходов испыт-я, m₁ –число исходов, благопр. соб-ю А, m₂- число исходов, благопр. соб-ю В. Число элем. исходов, благопр. наступл-ю либо соб-я А, либо соб-я В, равно m₁+m₂. =>, Р(А+В)= (m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n. Приняв во внимание, что m₁/n=Р(А) и m₂/n = Р(В), окончательно получим Р(А+В)= Р(А)+Р(В).

Следствие. В-ть появл-я одного из неск. попарно несовместных соб-й, безразл.какого, равна сумме в-тей этих соб-й: Р(А₁ + А₂+ …+А_п)=Р(А₁) +Р(А₂)+ …Р(А_п).

Д-во: Рассм-м 3 соб-я: А, В, С. Т.к. рассм-мые соб-я попарно несов-местны, то появл-е одного из трех соб-й, А, В и С, равносильно на-ступл-ю одного из двух соб-й, А+В и С, поэтому в силу указ-ой теоре-мы Р(А+В+С)=Р((А+В)+С)=Р(А+В)+Р(С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)