14. Регрессионный анализ планирования экстремального эксперимента.

Планирование экспериментов можно рассматривать как кибернетический подход к организации и проведению экспериментальных исследований сложных экономических объектов и процессов, представляемых в виде имитационных моделей. Основная идея этого подхода состоит в возможности оптимального управления экспериментом в условиях неопределенности. При решении задач такого рода приходится учитывать большое количество факторов, что чрезвычайно затрудняет полное теоретическое решение задачи. Поэтому идут по пути установления закономерностей с помощью проведения серии экспериментов. Методы эмпирического поиска оптимального решения задачи основанные на теории экстремального эксперимента, помогают экспериментатору выбрать оптимальную стратегию эксперимента. Основными показателями оптимальности при этом являются уменьшение числа экспериментов при обеспечении той же точности результатов исследований или же сокращение числа экспериментов при увеличении точности результата. В общем случае объект выглядит так:

На входе действуют управляющие переменные , контролирующие некоторые возмущения На выходе – характеристики объекта 1, 2….. В итоге нужно получить представление , где- параметр, который должен получить экстремум. Наше представление будет выглядеть так:

, где - это абсолютные величины, к которым мы должны стремится. Пользуясь результатами эксперимента можно получить выборочные коэффициенты регрессии ….., которые являются лишь оценками, приближенными значениями для теоретических коэффициентов регрессии. В результате будем иметь:

Допустим, имеем N- число экспертов (и соответственно число результатов наблюдений над величиной У). Положим, что результаты наблюдения нужно представить полиномом степени d. Тогда число коэффициентов регрессии будет равняться: , где к = 1,2…..к. Необходимо, чтобы.

Основа экстремального эксперимента – метод наименьших квадратов.

Рассмотрим пример на получение и анализ уравнения регрессии. Случай неортогонального планирования. Неортогональное планирование записывается следующим образом: . Пусть есть следующие исходные данные: известно, что полином имеет следующий вид:. Надо путем проведения эксперимента проверить, можно ли его использовать. Имеем 9 опытов.

= 11\9 = 1,22; f = 9

Используем формулу (в матричном виде) для нахождения коэффициентов регрессии: (X^TX)^-1X^TY

Поскольку нам известна ошибка опыта, можно определить отношение:

= 3.37 (для 10% уровня значимости), т.к. 12.1 > 3.37, то гипотезу о случайном отклонении отбрасываем.

При ортогональной системе точек расчеты упрощаются, т.к. обратная матрица будет диагональной, миноры рассчитывать не надо.

15. Полный факторный эксперимент.

Одной из основных идей планирования эксперимента является выбор экспериментальных точек. Факторный эксперимент обеспечивает наиболее удобный для описания процесса выбор точек факторного производства, при этом обеспечивается свойство ортогональности. При построении полного факторного эксперимента управляющие переменные принимают только 2 значения: +1 и -1.

Проведение эксперимента:

• Полный факторный эксперимент (2^к)

• Реплики (неполный факторный эксперимент):

1. Регулярная реплика 2^к-р

2. Нерегулярная реплика L^К-Р

Не важно, каким прибором исследуем процесс (регулярная реплика, полный эксперимент), нас интересует отклик. Возможные комбинации проведения опыта записываются в так называемую матрицу планирования эксперимента.

В факторной плоскости изменяется система координат.

Y - кривая отклика.

КМП - код матрицы планирования. В связи с тем, что у нас могут быть очень громоздкие матрицы планирования эксперимента, в математике принята условная запись этих матриц при помощи букв латинского алфавита. Так, если мы имеем дело с экспериментом, где 2 фактора, каждый из которых имеет 2 уровня: верхний (+1) и нижний (-1), то буквой «а» обозначается строчка, где первый фактор принимает значение верхнего уровня (+1), а второй фактор в этой же строчке нижний уровень (-1). Если первый нижний, а второй верхний - маркер «в». Если оба верхних - строчка маркируется «ав», а если оба нижних - «1».

Вместо матрицы можно записать {(1), а, в, ав}.

Мы провели эксперименты и с помощью регрессионного анализа можем получить уравнение:

, где - эти значения расчетны, в отличие от планируемых параметров- свободные члены.

Следовательно мы получаем линейный полином:

, впитал и свободный член и степени.

Степени свободы.

f = N(= 4) – (K(количество параметров = 3) + 1) = 0 => Sn = 0. Мы не можем проверить адекватность модели. При числе степеней свободы = 0 статистический анализ точности уравнения провести невозможно. Если мы исключим какой - либо член полинома (= 0), т.е. ограничимся линейной моделью (к примеру), то получим степень свободы 1 (f = 1) и сможем определить адекватность представления нашего процесса линейной модели. Факторный эксперимент дает возможность получать уравнения регрессии только в линейном виде или в виде неполного уравнения 2-ой степени, где отсутствуют квадратичные члены (мы не можем найти максимум с помощью второй и первой производной, т.к. 2-ой производной нет, следовательно используем метод наискорейшего спуска).

Пусть мы имеем факторный эксперимент .

Матрица планирования эксперимента будет иметь следующий вид:

_____

- независимые переменные, , , , - расчетные переменные.

, т.е. в общем виде:

, где БЛА – буква латинского алфавита.

Эксперименты, построенные по схемам, приведенным в дополнительных таблицах, называются полным факторным экспериментам, потому что в этом случае при желании можно определить все линейные коэффициенты, а также все возможные эффекты взаимодействия.

, где - линейные коэффициенты, - коэффициенты взаимодействия.

Построение эксперимента по схеме, когда некоторые из эффектов взаимодействия не определяются, называется в отличие от полного дробным факторным экспериментом (не полным факторным экспериментом) или репликой.

Схемы полного факторного эксперимента обладают следующими свойствами:

1. Нормирование - сумма квадратов элементов каждого столбца равняется числу опытов.

2. Симметричность относительно центра эксперимента. Алгебраическая сумма элементов вектора - столбца каждого фактора = 0.

3. Ортогональность - сумма почленных произведений любых 2-х векторных столбцов матрицы = 0.

Из свойства ортогональности следует, что матрица коэффициентов диагональна.

Из свойства нормирования следует, что все диагональные элементы этой матрицы равны числу опытов N.

Все элементы обратной матрицы = 1/N, следовательно любое.

Для матрицы {(1), а, в, ав}: