Поляризационный электрический и магнитный токи
Мы выяснили, что под действием электрического и магнитного поля в веществе могут возникнуть электрический и магнитный заряды. В ограниченном объеме величина заряда может меняться, если он покидает объем, пересекая его поверхность. При движении зарядов через поверхность, возникает ток. Плотность тока можно найти, воспользовавшись уравнением непрерывности.
Рассчитаем электрический поляризационный ток. Воспользуемся дифференциальной формой первого уравнения непрерывности (см. 1.15). Будем считать, что изменяются только поляризационный заряд. Величину поляризационного заряда возьмем из (1.36).
;div
-
.
Дивергенция – дифференциальная операция. Константу во втором слагаемом можно занести под символ дивергенции и, учитывая, что производная суммы двух слагаемых равна сумме производных, получим:
;
.
Поляризационный ток отсутствует, когда электрическое поле не изменяется и постоянная А равна нулю.
. (1.45)
Аналогично из второго уравнения непрерывности в дифференциальной форме (1.25) и выражения для поляризационного заряда (1.43) получим:
. (1.46)
Электрические и магнитные заряды, возникающие за счет тока проводимости.
Под действием электрического поля в среде с конечной проводимостью возникает электрический ток, плотность которого определяется законом Ома в дифференциальной форме (см.1.5),
=Э
.
Ток всегда связан с изменением заряда во времени первым уравнением непрерывности, интегральная форма которого (см.1.14):
.
Чтобы рассчитать заряд, проинтегрируем последнее выражение по времени, в течение которого этот заряд накапливается.
(1.47)
Плотность электрических зарядов рассчитаем, воспользовавшись дифференциальной формой уравнения непрерывности (см.1.15).
.
.
(1.48)
Магнитный ток тоже будет создавать магнитные заряды проводимости. Для магнитного тока, как и для электрического, справедлив свой закон Ома.
=М
.
(1.49)
Воспользуемся вторым уравнением непрерывности (см.1.24, 1.25) и рассчитаем магнитный заряд, связанный с магнитным током проводимости и его плотность:
(1.50)
.
(1.51)
Учет токов и зарядов, появляющихся в веществе, в уравнениях Максвелла
Уравнения Максвелла связывают электрическое и магнитное поле с токами и зарядами. В веществе появляются дополнительные токи и заряды. Они изменяют поля. Уравнения Максвелла тоже изменяются. Рассмотрим последовательно эти уравнения.
Первое уравнение Максвелла – закон Гаусса в интегральной форме для вещества получим, дополнив первое уравнение (1.1.3) поляризационными токами и зарядами, величина которых определена первыми уравнениями в (1.2.1, 1.2.2).
).
Перенесем
два последних слагаемых в левую часть
и учтем, что
=Э
:
.
(1.52)
Воспользуемся выражением для электрического смещения в веществе (см.1.34)
для того, чтобы упростить (1.52). Переменим порядок интегрирования во втором слагаемом и учтем, что сумма интегралов равна интегралу от суммы. Окончательно закон Гаусса в интегральной форме запишется так:
(1.52)
Перейдем к дифференциальной форме закона. Для этого преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему. Выразим электрический заряд через его плотность и, воспользовавшись произвольностью объема, приравняем подынтегральные выражения.
.
(1.53)
Второе уравнение Максвелла – уравнение непрерывности магнитных силовых линийв интегральной форме для вещества можно получить из аналогичного уравнения для вакуума, учитывая внутренние магнитные заряды и заряды, возникающие из-за магнитного тока проводимости. Проведя те же расчеты, что и при выводе закона Гаусса для вещества, получим интегральную (1.54) и дифференциальную (1.55) форму закона.
.
(1.54)
.
(1.55)
Третье уравнение Максвелла – закон полного тока в средезапишем, воспользовавшись аналогичным законом в вакууме. К стороннему току и току смещения добавим ток проводимости и поляризационный ток.
.
(1.56)
Воспользовавшись интегральной формой закона (1.56) получим дифференциальную. Для этого преобразуем интеграл по замкнутой кривой Lв интеграл по охватываемой ею поверхности. Выразим электрический ток через его плотность и, воспользовавшись произвольностью поверхности, приравняем подынтегральные выражения.
.
(1.57)
Четвертое уравнение Максвелла – закон электромагнитной индукции для вещества получим аналогично, воспользовавшись законом для вакуума и дополнительными токами, протекающими в веществе. Методика получения уравнения та же, что и для закона полного тока. Сначала получим дифференциальную форму закона, а затем перейдем к интегральной. Воспользовавшись первым уравнением (1.1.6) и вторыми уравнениями (1.2.5, 1.2.6), получим:
(1.58).
Проинтегрируем по поверхности, которая пронизывается током. По теореме Стокса перейдем от интеграла по поверхности к интегралу по контуру, ограничивающему эту поверхность в левой части уравнения. Интеграл от плотности стороннего тока по поверхности заменим током и окончательно получим
(1.59).