Четвертое уравнение Максвелла. Закон электромагнитной индукции

Еще из школьного курса физики мы знаем, что при перемещении замкнутого контура в переменном магнитном поле в нем возникает ток. Это явление впервые наблюдал Фарадей в 1831 году и назвал его электромагнитной индукцией. Сформулируем этот закон более строго. Пусть в некоторой области пространства существует переменное магнитное поле и замкнутый контур длиной L, ограничивающий поверхностьS. Тогда циркуляция электрического поля по контуруLравна по модулю производной по времени от магнитной индукции, пронизывающей этот контур.

. (1.31)

Выражение в левой части уравнения (1.31) носит название электродвижущей силы.Сравним выражения (1.29) и(1.31). Первое записано для циркуляции магнитного поля, а второе для циркуляции электрического поля. Однако правые части уравнений отличаются числом слагаемых. В выражении (1.29) учтены сторонний электрический ток и ток смещения, а в (1.31) только магнитный ток смещения. Анализируя закон непрерывности магнитных силовых линий, мы ввели магнитный ток. Вероятно, его необходимо учесть в правой части выражения (1.31). Тогда закон электромагнитной индукции в интегральной форме запишется так:

.

От интегральной перейдем к дифференциальной форме закона. Для этого преобразуем левую часть равенства, воспользовавшись теоремой Стокса. Циркуляция электрического поля по замкнутому контуру заменится интегралом по ограниченной контуром поверхности от ротора электрического поля. Выразим магнитный ток через его плотность. Тогда последнее равенство перепишется в виде:

.

Воспользовавшись произвольностью объема, приравняем подынтегральные выражения

. (1.31)

Это дифференциальная форма закона электромагнитной индукции.

1.4. Уравнения Максвелла в веществе

Вещество состоит из атомов и молекул, которые в свою очередь содержат электрически заряженные частицы, электроны и протоны. Перемещаясь, заряды создают ток. Таким образом, в дополнение к существующим в вакууме, в веществе возникают другие заряды и токи, изменяющие электромагнитное поле. В приближении электродинамики сплошных сред, которая используется в технических приложениях, неоднородность распределения заряда в пределах атома, вызывающая изменение электромагнитного поля в тех же пределах, не учитывается. Коллективное движение заряженных частиц создает макроскопические неоднородности заряда и тока в веществе и изменяет электромагнитное поле. Анализ показывает, что учесть атомную структуру вещества можно с помощью поляризационных токов и зарядов, и зарядов, накапливающихся в веществе при прохождении по нему тока проводимости.

Дипольный момент, поляризационные заряды

Пусть диэлектрик помещен в электрическое поле напряженностью Силы, действующие на положительное ядро и отрицательные электроны, направлены в противоположные стороны, и центры положительного и отрицательного зарядов, которые раньше совпадали, теперь разойдутся на расстояниеd(рис.1.3). Молекула деформируется, и возникнет дополнительное электрическое поле. Это поле описывают с помощью дипольного момента, который рассчитывают как произведение величины зарядов на расстояние между положительным и отрицательным зарядом.

.

Если в объеме Nмолекул, то полныйдипольный моментв объеме

(1.32)

Чем больше внешнее электрическое поле, тем сильнее разойдутся заряды и тем больше дипольный момент. В первом приближении можно считать, что дипольный момент пропорционален электрическому полю, приложенному к веществу.

. (1.33)

Электрическая индукция в веществе складывается из электрической индукции в вакууме и дипольного момента вещества,

. (1.34)

Коэффициент пропорциональности называютдиэлектрической восприимчивостьювещества, постоянную – абсолютной диэлектрической проницаемостью вещества, а- относительной диэлектрической проницаемостью,

= ,= 1 +. (1.35)

Если молекула не помещена в электрическое поле, то дипольный момент у нее, как правило, отсутствует. Существуют диэлектрики, молекулы которых обладают дипольным моментом. Однако, в отсутствие электрического поля диполи ориентированы хаотически и суммарного дипольного момента нет и в этом случае. Внешнее электрическое поле будет ориентировать диполи и возникнет поляризация. Равенство (1.33) верно и в этом случае.

В анизотропной среде вектор поляризации может не совпадать по направлению с электрическим полем, поэтому не совпадут по направлению вектора и. Векторное соотношение (1.34) выполняться не будет. В этом случае связьиможно описать с помощью тензора диэлектрической проницаемости

D _i =  _ij E _j.

Несмотря на изменение вида связи между напряженностью электрического поля и электрической индукцией, линейная зависимость между исохранится. В однородной среде диэлектрическая проницаемость – скаляр, а в анизотропной – тензор второго ранга.

Чтобы рассчитать диэлектрическую восприимчивость, найдем вектор поляризации. Остановимся на однородной среде. Сначала рассмотрим одномерный случай, когда к узкой полоске вещества толщиной хи площадьюSвдоль осихприложено электрическое поле(см.рис.1.3). Под действием электрического поля в элементарном объеме толщинойхпроисходят такие процессы. Слева, прих = х₀ электроны, из слоя толщинойdпокинут объем и в нем возникнет положительный зарядq(x₀).Справа, прих = х₀ + х, наоборот, в полоску войдут электроны, расположенные правее координатых₀ + хнаd. Если электрическое поле однородно, то заряд в полоске не изменится. Но если поле неоднородно, то в объем войдет больше электронов, чем из него выйдет, или наоборот, и в полоске возникнет электрический заряд. Подсчитаем его. Пусть в единице объема содержитсяNэлектрических зарядов величинойq. Тогда слева из объема выйдет зарядq(x₀),

q(x₀) = NqSd(x₀),

а справа в объем войдет заряд q(x₀ +x),

q(x₀ +x) = NqSd(x₀+x).

Итак, под действием электрического поля в объеме появится дополнительный заряд, величину которого можно выразить через проекцию вектора поляризации вдоль оси х

q_пол= q(x₀ +x) - q(x₀) =Sx = S[Nqd(x₀) - Nqd(x₀+x)] =

= - S[P_x(x₀+x)– P_x (x₀)].

Разделим обе части равенства на Sх и устремимх к нулю. Тогда

_Эпол =.

Если электрическое поле изменяется в произвольном направлении, то в левой части равенства будет сумма частных производных по трем осям:

_Эпол == -div= - div(_э). (1.36)

Определена плотность поляризационного заряда. Чтобы найти заряд во всем объеме, последнее равенство нужно проинтегрировать по этому объему.

.

Воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса и заменим справа интеграл по объему от дивергенции на интеграл по охватывающей его поверхности от потока вектора и получим окончательное выражение для электрического заряда.

. (1.37)

Таким образом, в электрическом поле диэлектрик поляризуется, что можно описать с помощью дипольного момента. В неоднородном поле возникают неоднородности заряда, которые изменят уравнения Максвелла.

На вещество воздействует не только электрическое, но и магнитное поле. Магнитные свойства вещества обусловлены спиновым и орбитальным магнитными моментами электронов оболочки атома и магнитными моментами ядер. Классическая теория, которая основывается на работах Ампера, может объяснить только орбитальный магнитный момент. Спиновый момент объясняет квантовая теория.

Ампер считал, что молекулы магнетиков несут в себе замкнутые токи, которые создают магнитное поле, и подобны макроскопическим магнитам. Поле, создаваемое замкнутым током, можно описать с помощью элементарного магнитного момента.

,

где S– площадь фигуры, обтекаемой токомI.

На орбитах вокруг атома всегда находится несколько электронов, каждый из которых имеет свой магнитный момент. В парамагнетиках эти моменты не скомпенсированы и существует суммарный момент атома . Энергия взаимодействия магнитного поля с моментом

e

пропорциональна напряженности поля и зависит от угла между ними. Она оказывается минимальной по величине (но не по модулю) тогда, когда магнитный момент установится по полю.

Рассмотрим поведение вещества с Nатомами в единице объема. Если магнитного поля нет, то моменты располагаются хаотически и суммарный момент равен нулю. Теперь поместим вещество в магнитное поле. Здесь возможны два варианта. Молекулы вещества могут иметь или не иметь магнитный момент.

Если магнитный момент есть, то вещество называют парамагнитным. Магнитный момент парамагнетика ориентируются по полю и, чем сильнее магнитное поле, тем точнее будет эта ориентация. В первом приближении суммарный магнитный момент парамагнетика будет пропорционален величине внешнего поля,

. (1.38)

В диамагнетике суммарный момент атома равен нулю и описанный выше эффект отсутствует, однако магнитное поле действует и на него. Под действием изменяющегося во времени внешнего магнитного поля в оболочке атома возникает электрический ток. Согласно правилу Ленца этот ток будет создавать магнитное поле, противоположное внешнему. Магнитный момент наведенного тока направлен против поля, создавшего его. Величина магнитного момента в первом приближении пропорциональна амплитуде поля,

. (1.39)

Диамагнетизмом обладают и парамагнитные молекулы. Полный магнитный момент можно получить, складывая (1.38) и (1.39).

. (1.40)

Есть еще одна причина возникновения магнитного момента. Он возникает и тогда, когда спиновые моменты электронов, входящих в атом не скомпенсированы. Такая ситуация существует в атомах, у которых не до конца заполнены электронные оболочки. К ним относятся атомы элементов переходных групп: 3dэлементы (группа железа), 4fэлементы (лантаниды) и так далее. Если между спиновыми моментами существует сильное обменное взаимодействие, то у соседних атомов магнитные моменты ориентируются параллельно, в одну сторону у ферромагнетиков и в противоположные стороны у антиферромагнетиках и ферритов (ферримагнетиков). У антиферромагнетиков взаимодействующие моменты одинаковы и суммарный момент равен нулю, а у ферритов нет. Магнитное состояние вещества, как и в случае пара- и диамагнетиков, описывается с помощью магнитного момента. Выражение (1.40) справедливо и для этой группы веществ. Отличие лишь в величине магнитной восприимчивости и ее поведении в сильном магнитном поле. Ограничимся слабыми магнитными полями и будем считать, что (1.40) выполняется всегда.

Итак, к внешнему магнитному полю добавляется внутреннее с магнитным моментом . Магнитная индукция в веществе складывается из магнитной индукции в вакууме и магнитного момента вещества.

; (1.41)

где - абсолютная магнитная проницаемость вещества, а- относительная.

= ,= 1 +_М. (1.42)

В анизотропной среде вектор магнитной индукции может не совпадать по направлению с магнитным полем. Связь и теперь описывается с помощью тензора магнитной проницаемости

,

но линейная зависимость между и сохранится. В однородной среде магнитная проницаемость – скаляр, а в анизотропной – тензор второго ранга.

Формально можно считать, что источник внутреннего магнитного поля – магнитные заряды. Рассчитать их можно точно так же, как были посчитаны электрические поляризационные заряды. Тогда по аналогии с (1.36) можно записать

_{м i} = – div= -div (_М), (1.43)

где _{М i} - плотность внутренних магнитных зарядов.

Теперь можно рассчитать магнитный заряд в объеме V.

q_m = . (1.44)