Второе уравнение Максвелла. Уравнение непрерывности магнитных линий.

Это уравнение аналогично предыдущему, но описывает не электрические, а магнитные явления. Оно связывает магнитное поле и магнитный заряд. Снова рассмотрим объем V, охваченный поверхностью, площадь которойS. В этом объеме есть магнитный зарядq_м, который создает магнитное поле. Согласно закону непрерывности магнитных силовых линий они связаны следующим соотношением:

. (1.20)

Известно, что в природе отсутствуют магнитные заряды и в правой части равенства должен стоять ноль. Однако в технических приложениях иногда их приходится искусственно вводить. Например, если в задаче рассматривается поле, создаваемое постоянным магнитом и в интересующий нас объем входит только северный полюс магнита, он и будет играть роль магнитного заряда, создающего магнитное поле.

Если введены магнитные заряды, то можно ввести и их плотность. Тогда последнее равенство можно переписать в дифференциальной форме. Введем плотность магнитных зарядов равенством, аналогичным (1.10).

(1.21)

Объединяя (1.20), (1.21), пользуясь теоремой Остроградского- Гаусса и рассуждая так же, как в предыдущем разделе, получим:

;

. (1.22)

Источник магнитных силовых линий – магнитные заряды. В природе магнитных зарядов нет и, как правило, магнитные силовые линии непрерывны. Поэтому второе уравнение Максвелла называют уравнением непрерывности магнитных силовых линий.

Допуская существование магнитных зарядов, следует признать и существование магнитных токов, которые можно ввести точно так же, как вводились электрические токи:

. (1.23)

Для магнитного заряда, как и для электрического, справедлив закон сохранения. С течением времени магнитный заряд может изменяться, но, в соответствии с законом сохранения, это изменение должно происходить только за счет пересечения зарядами поверхности, ограничивающей объем. Процесс движения заряда через поверхность и есть ток через нее. Выразим в (1.23) магнитный ток через его плотность:

. (1.24)

Получена интегральная форма второго уравнения непрерывности. Чтобы перейти к дифференциальной форме, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса и заменим интеграл по поверхности от плотности магнитного тока на интеграл по объему отdivj_m. Как и ранее, учтем произвольность объемаV. Тогда

;

. (1.25)

Получена дифференциальная форма второго уравнения непрерывности, которая утверждает, что изменение магнитного заряда во времени в выбранной точке пространства приводит к возникновению магнитного тока в этой точке.

Третье уравнение Максвелла – закон полного тока

При обсуждении уравнения непрерывности магнитных силовых линий указывалось, что в природе магнитных зарядов не существует, и не они порождают магнитное поле. Обычно магнитное поле возникает вокруг проводника с электрическим током. Это явление количественно описывает закон полного тока. Согласно этому закону циркуляция напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна суммарному току, пронизывающему площадь, охваченную этим контуром.

. (1.26)

Выражение в левой части уравнения носит название магнитно-движущей силы.

Закон полного тока следует из определения магнитной индукции. Покажем это. Рассмотрим магнитное поле бесконечно длинного проводника

и попытаемся получить из него закон полного тока. Пусть контур L– окружность радиусомr, плоскость которой перпендикулярна проводнику с током. Запишем циркуляцию вектора по этой окружности.

.

Закон полного тока записан не для магнитной индукции, а для напряженности магнитного поля. Перейдем в последнем равенстве от магнитной индукции к напряженности магнитного поля.

=;,

что полностью совпадает с (1.26).

Получим дифференциальную форму закона. Для этого выразим электрический ток через его плотность

.

Используем теорему Стокса для того, чтобы преобразовать циркуляцию напряженности магнитного поля по контуру Lинтегралом от ротора напряженности магнитного поля по площади, ограниченной этим контуром.

Из-за полной произвольности кривой Lэто равенство возможно лишь тогда, когда равны подынтегральные выражения, то есть:

rot= . (1.27)

Это и есть дифференциальная форма закона полного тока. В обе формулировки закона входит полный ток I_Э или его плотность . Рассмотрим, из каких составляющих состоит полный ток. В вакууме нет носителей заряда, и ток проводимости отсутствует. Магнитное поле может возбудить ток, проходящий за пределами рассматриваемого объема. Такой ток называютсторонним. Однако существует еще один вид тока, который называют током смещения и который существует в вакууме. С этим током мы сталкиваемся тогда, когда рассматриваем электрическую цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис.1.2). В этой цепи протекает реактивный ток, который можно рассчитать, разделив напряжение источника на сопротивление емкости переменному току. Выясним природу этого тока. Между пластинами конденсатора вакуум, и ток проводимости не может проходить. Оказывается, что изменение электрического поля между пластинами, вызванное изменением заряда на пластинах, можно интерпретировать как ток. Покажем это. Выделим замкнутую поверхностьS,охватывающую объемV, который содержит одну пластину конденсатора, а другая пластина находится за пределами объема.q_Э(t)- заряд на этой пластине. Электрические заряды, перемещаясь по проводнику, подходят к пластине конденсатора и накапливаются на ней, изменяя электрическое поле между пластинами. Этот процесс описывается первым уравнением Максвелла – законом Гаусса (см.1.16), который с учетом знака заряда электрона запишется так:

.

Если продифференцировать это выражение по времени, то справа окажется производная от заряда, а в соответствии с первым уравнением непрерывности (см.1.15) она вызовет электрический ток. Следовательно, выражение, которое появится в левой части равенства, будет описывать искомый ток. Продифференцируем по времени последнее выражение:

== .

Приравнивая подынтегральные выражения для самой левой и самой правой частей равенства, получим:

. (1.28)

Итак, кроме стороннего тока, протекающего за пределами рассматриваемого объема, в вакууме существует ток смещения, величина которого зависит от скорости изменения электрического поля во времени. Распишем компоненты полного тока в законе полного тока. Тогда для интегральной формы вместо (1.26) получим

, (1.29)

а для дифференциальной формы вместо (1.27):

rot= +. (1.30)