Уравнения Максвелла для вакуума
Уравнения, описывающие электромагнитные явления, были сформулированы в середине девятнадцатого века и явились результатом исследований Фарадея, Гаусса, Максвелла и других ученых, но в окончательной форме были сформулированы Максвеллом и получили его имя. Уравнения Максвелла устанавливают связь между векторами электрического и магнитного полей, токами и зарядами и параметрами среды, в которой они находятся. Они записываются в двух формах – интегральной и дифференциальной.
Интегральная форма связывает потоки
векторов
и
через замкнутую макроскопическую
поверхность с зарядами, расположенными
в объеме, охваченном этой поверхностью
и циркуляцию этих векторов по замкнутому
контуру с токами, пронизывающими
поверхность, охваченную контуром, по
которому рассчитывается циркуляция.
Дифференциальная форма записывается для тех же величин, но при стремлении к нулю объема или поверхности. Уравнений Максвелла всего четыре и каждое из них имеет свое имя. Рассмотрим последовательно эти уравнения.
Первое уравнение Максвелла. Закон Гаусса
Этот закон указывает на одну из причин
возникновения электрического поля –
электрический заряд и связывает величину
заряда и величину поля. Рассмотрим
объем V, охваченный
поверхностью, площадь которойS.
В этом объеме есть электрический зарядqэ ,
который создает электрическое поле
.
Согласно закону Гаусса они связаны
следующим соотношением:
.
(1.16)
Закон Гаусса нетрудно получить из определения для электрического поля как силы действующей на единичный заряд. Действительно, воспользуемся выражением (1.2)
=
и
посчитаем поток вектора
через
сферу радиусомr. Из
(1.16) и (1.2) получим:
=
.
Опуская промежуточные вычисления и записывая только исходное выражение и результат, получим закон Гаусса в интегральной форме
.
(1.17)
Теперь запишем это равенство в дифференциальной форме. Для этого перейдем от заряда qЭв (1.17) к его плотности, воспользовавшись выражением (1.10).
=
(1.18)
Полученное равенство можно упростить, если слева интегрирование по поверхности заменить интегрированием по объему, охваченному этой поверхностью. Для этого воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса, согласно которой интеграл от потока вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему, охваченному этой поверхностью.
.
Тогда равенство (1.18) перепишется в виде:
.
Ввиду полной произвольности в выборе объема V, это равенство возможно только в том случае, если равны подынтегральные выражения.
. (1.19)
Это и есть дифференциальная форма закона Гаусса– первого из рассмотренных нами уравнений Максвелла. В соответствии с определением дивергенции равенство (1.19) означает, что источник электрического поля – электрические заряды. Электрические силовые линии начинаются и кончаются на зарядах. Если в объеме нет зарядов, то нет истоков и стоков для электрических силовых линий.