3.4.4. Распределения Рэлея и Максвелла

Если измеренные координаты точки на плоскости подчиняются нормальным законам с дисперсией , то радиусr уклонения точки от ее математического ожидания будет подчиняться распределению Рэлея. Этот радиус широко используется в качестве характеристики кругового рассеяния планового положения точек.

Функция плотности вероятности его , (3.28)

а функция распределения - . (3.29)

Математическое ожидание радиуса

Распределению Максвелла следует аналогичное уклонение r в трехмерном пространстве. Функция плотности вероятности здесь , (3.30)

а функция распределения - , (3.31)

где Ф(r/) нормальное распределение.

Математическое ожидание СВ: . (3.32)

3.4.5. Равномерное распределение

К такому распределению приближаются измерения координаты точки снимка с низкой разрешающей способностью на точном приборе при большом увеличении оптической системы. Такому распределению следует наведение марки в пределах пиксела цифрового фотоизображения на экране. Искусственное деление пиксела исходного образа на 4, 6, 9, 16 …частей

Здесь плотность вероятности внутри интервала [a,b] на оси x постоянна (рис.3.5.б):

при a<x<b, иначе - ноль, (3.33) а функция распределения при a<x<b, при x<a - ноль. (3.34) Характеристики этого распределения: математическое ожидание СВ ; дисперсия ; асимметрияА=0 и эксцесс Е=-1.2.

3.4.6. Пример антимодального распределения

При обработке профилей местности, оптических плотностей снимка (например, леса) мы получаем ряды значений, близкие к периодическим. Поэтому для иллюстрации приведем распределение гармонической функции, где СВ есть начальный фазовый угол y, частота f и амплитуда А. Это антимодальное распределение, ф.п.в. которого , а функция распределения . Графики распределения показаны на рис.3.5б.

3.4.7. Распределение 2 (хи -квадрат)

Распределение получено геодезистом Хелмертом (Helmert) в 1876 г. Этому распределению следует сумма квадратов r случайных величин x, которые подчиняются нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице, т.е. функция нормального случайного вектора (3.35)

В практике обработки наблюдений служит для определения надежности оценки дисперсии по данным наблюдений, для проверки гипотезы о законе распределения.

Функция плотности вероятности распределения ² (рис.3.5в)

(3.36)

где (r) - гамма-функция, которая для целых чисел есть (r-1)!, а для непрерывно изменяющихся значений определяется интегралом. (3.37). Например, .

Плотность распределения вероятности здесь зависит только от r, т.е. это распределение с одним параметром.

Числовые характеристики распределения². Математическое ожидание, которое называется числом степеней свободы, равноr. Дисперсия s² =2r. Асимметрия . Эксцесс(-3?). С возрастаниемr распределение стремится к нормальному (A→∞, E→0). При r=2 это экспоненциальное распределение f(t)=0.5 exp(-x/2), где x>0. При r=3 это распределение Максвелла.

Основное свойство распределения: сумма независимых СВ, распределенных по закону ² c r_i степенями свободы соответственно, распределена по тому же закону с числом степеней свободы. Например, сумма двух независимых СВ, распреде-ленных по² с r₁ и r₂ степенями свободы, распределена также по закону ² с числом степеней r ₁+r₂ .

Применительно к обработке наблюдений ² соответствует сумме квадратов уклонения от среднего, деленной на дисперсию ²: , (3.38) где обозначение Q принято по первой букве слова quadrat.