3.4.1. Биномиальное распределение

Для того чтобы перейти к биномиальному распределению, рассмотрим небольшую задачу. На карте имеется два ориентира. Вероятность опознавания на местности первого p₁=0.7, а второго - p₂=0.8. Какова вероятность опознавания двух ориентиров? Согласно теореме умножения вероятностей для независимых событий имеем p₁ p₂ =0.56.

Усложним задачу, какова вероятность опознавания хотя бы одного ориентира, т.е. первого или второго или двух вместе? Для ее решения введем вероятности противоположных событий, т.е. “неопознаваний”, образующих с первыми полные группы:

q₁=1 - p ₁=1 - 0.7 = 0.3 и q₂=1 - p₂ = 1 - 0.8 = 0.2.

К значению вероятности опознавания припишем размерность y (английское «y»es или русское «у»знал) и образуем биномы p₁y- q₁=1 и p₂y- q₂=1, которые перемножим:

.

Из сравнения с первой задачей видим, что в этой форме коэффициент при y² есть вероятность совместного появления двух независимых событий: опознавания двух ориентиров. Коэффициент при y¹ - вероятность опознавания какого-то одного из двух. Третий q₁q₂- вероятность неопознавания ни одного ориентира. Сумма коэффициентов равна единице. Отсюда получаем вероятность опознавания хотя бы одного ориентира:

или проще 1- q₁q₂=1-0.06.

Предлагаемый здесь подход годится для решения ряда задач. К ним относятся определение нагрузки ориентирами топографической карты «вот моя деревня, вот мой дом родной…», установление характерных признаков ориентира «бровь темная, жемчужных ряд зубов…» (условного знака, опознаваемого объекта), подсчет количества грубых ошибок, допущенных в работе, оценка вероятности ориентирования на местности по карте.

А теперь рассмотрим упрощенную задачу. Положим, что имеется n ориентиров, вероятности опознавания которых p одинаковы. Тогда произведение n биномов примет вид (py+q)ⁿ . Разлагая его по известной формуле, получаем:

, (3.19)

где есть число сочетаний из n по k.

Здесь представлена полная группа событий появления y от n до 0 раз, вероятность каждого из которых вычисляется по стоящему перед ним коэффициенту .

По аналогии с предыдущей задачей, получаем, что коэффициент в первом слагаемом есть вероятность того, что событие y произойдет n раз, во втором - что событие произойдет (n-1) раз, в (n-k)-ом - k раз, и последнее слагаемое указывает вероятность того, что событие y не произойдет ни разу.

Следовательно, коэффициенты образуют ряд распределения, в котором вероятность появления события y точно k раз при n испытаниях равна . (3.20)

Эту форму биномиального распределения получил Якоб Бернулли (1654 -1705).

Числовые характеристики распределения следующие: математическое ожидание ; дисперсия; асимметрия; эксцесс(-3?).

Из характеристики А следует, что при p=q это распределение становится симметричным. При малых и больших p распределение бимодально, см. рис.3.5а.

Кумулятивная форма закона. Обычно ищут вероятность того, что событие y наступит не более k раз или хотя бы k раз, как рассмтрено в примере с ориентирами. Эта вероятность равна сумме вероятностей:

. (3.21)

Полная серия суммарных вероятностей при k от 0 тдо ∞ есть ни что иное, как функция биномиального распределения: геометрическая прогрессия, смежные члены которой соотносятся так: . (а)

Из этой прогрессии находим такое количество событий k, для которого вероятность будет наибольшая. Для этого запишем очевидные неравенства .Разделим эти неравенства на и подставим соотношение (а). Получим. Так как k целое, то есть математическое ожидание.

Для вычисления C_n^k при больших n и k применяют формулу Муавра-Стирлинга , которая при n>10 обеспечивает точность 0.8%. Из (3.20) в этом случае следует формула локальной теоремы Муавра-Лапласа: , (3.22)

где -случайная величина, центрированнаяи нормированная стандартом.

Эта функция описывает поведение дискретной СВ, а именно, уклонения количества событий y, превышающего или меньшего. Чтобы (3.22) применять для любой СВ,k нормируют стандартом =(q).

Интегральную форму этой функции называют нормированной функцией Лапласа:

. ( 3.23)

Удвоенная функция Лапласа 2(x) называется интегралом вероятности (т.е. вероятность от –х до х).

Из биномиального распределения получают предельные распределения: Пуассона, Гаусса и другие.