3.4.2. Распределение Пуассона

Это распределение получают из выражения (3.20) как его предел при n, и постоянном =np. Так как  конечно, то при n, вероятность р стремится к нулю. Поэтому распределение Пуассона применяют для событий (дискретных случайных величин), вероятность которых очень мала.

Если вероятность появления события есть p, а n велико, то вероятность появления точно k событий определяется функцией . (3.24)

У Распределения Пуассона только один параметр , который определяет его числовые характеристики: . (3.25)

Вывод формулы (3.24). Так как =np, то подставим p=/n в (3.20): . Найдем предел этого выражения при n. Предел сомножителя, содержащего n, степень которого не n, есть единица. Осталось найти предел . Для этого преобразуем форму, положив, /n =-1/m. Тогда и n=-m. По определению . С учетом этого находим, что . Подставляя в исходную формулу значения пределов, получаем искомое предельное выражение закона (3.20).

Условия применения закона:

все события равновероятны, причем вероятность р события мала;

события независимы: вероятность р появления данного события не зависит от предыстории: не имеет значения, сколько событий произошло перед данным;

вероятность совместного появления двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с р.

Пример 3.1. Найдем вероятность появления только одной грубой ошибки в 1000 измерениях при вероятности ее появления р =1/1000. На первый взгляд, кажется, что вероятность будет равна 1. Так ли это? Подсчитаем по формуле Бернулли (3.20):.

Проверим по закону Пуассона: P_n(k)=(1000 0.001)¹ exp(-1000 0.001)= e^-1 =0.367879.

Остальная (1-0.37) вероятность приходится на то, что событие может произойти два, три…10 и более раз или вообще ни разу.

3.4.3. Нормальное распределение Гаусса-Лапласа открыто Муавром в 1733г. и повторно Гауссом и Лапласом. К этому распределению стремится биномиальное распределение при p и q, отличных от нуля, и n, стремящемся к бесконечности. Функция плотности вероятности этого распределения есть f. (3.24)

Числовые характеристики: Математическое ожидание СВ, следующей гауссову распределению, есть его параметр ₁. Другие легко найти на основе свойства этого распределения: все нечетные центральные моменты равны нулю, а все четные определены разобраться выражением , из которого (k=1) ₂ =², (k=2) ₄ = 3⁴ , (k=3) ₆ 5⁶ , и т.д. Следовательно, асимметрия , и эксцесс E=0.

Это распределение важно для нас. Рассмотрим его свойства, применительно к центрированной начальным моментом и нормированной стандартом непрерывной случайной величине . (3.25)

Подставляя t в (3.24), получим нормированную функцию плотности вероятности . (3.26). ее называют формулой Гаусса

Свойства нормального распределения. С увеличением |t| функция убывает, так как показатель степени отрицательный: при , а, например, при модулеt, равном 5, она принимает значение 0.0000015. Распределение симметрично . Криваяимеет точки перегиба. Ее первая и вторая производные суть:

.

Отсюда следует, что при t=0 будет ее максимум, а точки перегиба при равенстве нулю второй производной, т.е. при , будут в. В этих точках функция п.в. принимает значение .Вероятность попадания в интервал

Найдем другие точки, где первая производная равна (стремится) к нулю. Так как t стремится к бесконечности, а - к нулю, то, взяв производные, получаем предел по правилу Лопиталя: .

Таким образом, ось t есть асимптота функции плотности вероятности: кривая уходит вправо и влево в бесконечность.

Из (3.25) получаем функцию распределения для нормального закона (3.27)