Задачи / 3семестр,ДЗ / Дз№2_третий семестр / Вар1

Цель работы: Расчет и исследование сложной электрической цепи переменного синусоидального тока (определить токи, напряжения, мощности оптимальным методом).

R1 = 110 Ом R2 = 200 Ом R4 = 130 Ом R5 = 150 Ом R7 = 200 Ом R8 = 220 Ом J = 0.3 A E = 15 B L1 = 110 мкГн L4 = 75 мкГн C5 = 0,25 мкФ C8 = 0,5 мкФ F = 600 Гц

1. Метод контурных токов.

Граф схема исходной цепи:

Токи ветвей дерева понадобятся при расчете топологическим способом.

Комплексы сопротивлений всех ветвей: (мы будем оперировать с ними как с простыми сопротивлениями цепей постоянного тока)

Z₁ = R₁ + 2π*F*L₁*j;

Z₂ = R₂;

Z₄ = R₄ + 2π*F*L₄*j;

Z₅ = R₅ - 1/(2π*F*C₅)*j;

Z₇ = R₇;

Z₈ = R₈ – 1/(2π*F*C₈);

Учитывая направления контурных токов, которые мы выбрали, составим для всех контуров уравнения. Их будет три.

I₁₁(Z₁+Z₅+Z₄) + I₂₂Z₄ + I₈₈Z₅ + J*Z₄ = 0;

I₂₂(Z₄+Z₂+Z₇) + I₁₁Z₄ - I₈₈Z₇ + J*Z₄= 0;

I₈₈(Z₈+Z₅+Z₇) + I₁₁Z₅ - I₂₂Z₇ = - E;

То же самое, но в матричной форме:

;

Решаем данную систему из трех уравнений методом Крамера. В матрицу комплексных сопротивлений ставим вместо первого столбца вектор-столбец ЭДС – таким образом, получим новую матрицу (B1). Проделаем ту же операцию с остальными столбцами – получим еще 2 новые матрицы (B2, B3).

Полученный результат:

I₁₁ = I₁= -0.0104-0.0195j;

I₂₂ = I₂= -0.0699+0.0027j;

I₈₈ = I₈= 0.0029-0.0053j.

Мы нашли токи в хордах. Теперь по первому правилу Кирхгофа найдем токи во всех ветвях.

I₄ = I₁ + I₂ + J =0.2196 - 0.0168j;

I₅ = I₁ + I₈ = - 0.0075-0.028j

I₇ = I₂ – I₈ =-0.0728+0.0079j;

Проверим выполнение первого закона Кирхгофа для пятого узла:

I₄ = I₇ + I₅ + J;

0.2196 - 0.0168j = 0.2196 - 0.0168j;

Закон выполняется!

Топологическим метод для МКТ.

Нам необходимо составить матрицы контуров и комплексных сопротивлений и векторы-столбцы источников тока и ЭДС.

Матрица контуров:

Матрица комплексных сопротивлений:

;

Составим вектор-столбец ЭДС.

Так как источник ЭДС есть только в восьмой ветви, то он будет следующим:

.

Составим вектор-столбец источников тока в ветвях.

Если направление тока в контуре источника совпадает с направлением тока ветви, то поставим значение J, если эти токи встречны, то поставим –J. Если ветвь не принадлежит контуру источника тока, то поставим 0. В таком случае получим:

.

Теперь мы можем найти матрицу токов хорд цепи.

_;

_;

Тогда .

После приведенных выше действий был получен следующий результат:

.

Что в точности соответствует результату, полученному нами по методу контурных токов при помощи правила Крамера.

2. Метод узловых потенциалов

Заземлим четвертый узел.

Матрица проводимостей:

;

Учитывая направления токов, подходящих к узлам, в окончательном варианте получим матричное уравнение:

, решая которое методом Крамера, мы найдем потенциалы всех узлов схемы.

Проверим правильность найденных нами потенциалов топологическим методом для МУП.

Составим матрицу соединения узловых проводимостей ветвей схемы:

В ней строки отвечают за узлы, а столбцы – за ветви цепи. Если ток в j-той ветви входит в i-тый узел, то на пересечении i-той строки и j-того столбца поставим -1, если же ток в j-той ветви выходит из i-того узла, то поставим 1, и поставим 0, если j-тая ветвь не содержит i-тый узел.

Матрица комплексных проводимостей:

Вектор столбец источников тока:

Искомый вектор-столбец потенциалов узлов: найдем из матричных уравнений:

Был получен следующий результат:

.

Что полностью совпадает с найденными потенциалами по МУП с помощью правила Крамера.

Зная комплексные потенциалы, мы можем найти токи во всех ветвях по второму закону Кирхгофа.

Токи найденные по двум методам совпадают.

3. Проверим найденные токи по второму закону Кирхгофа.

Составим три уравнения, так как в нашей цепи 3 контура. Для каждого из контуров должен выполняться второй закон Кирхгофа.

После подстановки значений найденных токов и исходных комплексов сопротивлений мы получаем верные равенства. Значит для всех контуров второй закон Кирхгофа выполняется.

4. Проверка баланса мощностей.

По условию баланса мощностей, в цепи активные и реактивные мощности источников должны быть равны потребляемым мощностям.

S_ист = U₂₅*J^* + E*(-I₈)^*;

S_ист =8,5235 – 0,7167j;

Как видно активные и реактивные мощности совпадают, значит, токи и потенциалы мы нашли правильно.

5. Топографическая диаграмма.

6. Векторная диаграмма.

9