Задачи / 3семестр,ДЗ / Дз№2_третий семестр / Вар8

Цель работы: Расчет и исследование сложной электрической цепи переменного синусоидального тока (определить токи, напряжения, мощности оптимальным методом).

В нашу задачу входит рассчитать токи во всех шести ветвях данной цепи. Мы будем искать токи методами узлового потенциала и контурных токов по правилу Крамера, и проверим значения токов топологическими методами.

R1 = 110 Ом R2 = 110Ом R3 = 130 Ом R8 = 180 Ом R9 = 110 Ом R10 = 200 Ом J = 0.4 A E = 15 B L1 = 30 мкГн L9 = 50 мкГн C3 = 2 мкФ C8 = 3 мкФ F = 600 Гц

1. Метод контурных токов.

Составим граф-схему исходной цепи.

Изобразим на нем также токи ветвей дерева, так как они нам понадобятся при расчете топологическим способом. Не смотря на то, что в цепи ток синусоидальный, мы указали его направление. Мы будем работать с комплексными величинам, проводя такие же рассуждения, что и при расчете цепей постоянного тока.

Ниже представлены комплексы сопротивлений всех ветвей:

Z₁ = R₁ + 2π*F*L₁*j;

Z₂ = R₂;

Z₃ = R₃ - 1/(2π*F*C₃)*j;

Z₈ = R₈ - 1/(2π*F*C₈)*j;

Z₉ = R₉+2π*F*L₉*j;

Z₁₀ = R₁₀;

Исходя из направлений контурных токов, запишем три уравнения для их нахождения:

I₁₁(Z₁+Z₂+Z₈) – I₃₃Z₂ – I₁₀₁₀Z₈+JZ₂ = E;

I₃₃(Z₃+Z₂+Z₉) – I₁₁Z₂ - I₁₀₁₀Z₉ – J(Z₂+Z₉) = 0;

I₁₀₁₀(Z₈+Z₉+Z₁₀) – I₃₃Z₉ – I₁₁Z₈+JZ₉ = - E;

Эти же уравнения можно записать в матричной форме:

;

Решаем данную систему из трех уравнений методом Крамера.

Полученный результат:

I₁₁ =-0.0825 + 0.0422j;

I₃₃= 0.1589 + 0.0825j;

I₁₀₁₀ = - 0.1126 + 0.0285j.

2. Топологический метод для МКТ.

Составим матрицу контуров:

В матрице строки характеризуют ветви цепи, а столбцы – контуры. Если ветвь входит в контур, то ставим в данную позицию 1(если направление тока в ветви совпадает с контурным током) или -1(если эти токи встречны), если ветвь не принадлежит данному контуру, то ставим 0.

Составим матрицу комплексных сопротивлений:

; или то же самое с комплексных величинах:

.

Составим вектор столбец ЭДС.

Так как источник ЭДС есть только в восьмой ветви, то столбец будет следующим:

.

Составим вектор столбец источников тока в ветвях.

Если направление тока в контуре источника совпадает с направлением тока ветви, то поставим значение J, если эти токи встречны, то поставим –J. Если ветвь не принадлежит контуру источника тока, то поставим 0. В таком случае получим:

.

После того как мы составили все необходимые матрицы. Мы можем найти матрицу токов всех хорд цепи. Для этого произведем дополнительные вычисления:

_;

_;

Тогда .

Таким образом мы получим вектор-столбец искомых токов хорд.

С помощью программы MatLab, после приведенных выше действий был получен следующий результат:

.

Что в точности соответствует результату, полученному нами по методу контурных токов.

Итак, мы нашли токи в ветвях 1, 3 и 10. Теперь по первому правилу Кирхгофа найдем токи во всех ветвях.

I₂ = I₁ – I₃ + J = 0,1586 - 0,0403j

I₈ = I₁ - I₁₀ = 0.0301+0.0137j;

I₉ = I₁₀ +J - I₃ = 0.1285 - 0.0540j;

Проверим выполнение первого закона Кирхгофа для четвертого узла:

I₂ = I₉ + I₈;

0,1586 - 0,0403j = 0.1285 - 0.0540j+0.0301+0.0137j;

Закон выполняется!

3. Метод узловых потенциалов

Необходимо заземлить один из узлов (пусть им будет четвертый) и составить систему уравнений для оставшихся узлов.

Запишем комплексные проводимости для каждой ветви, учитывая, что Y=1/Z.

Тогда матрица проводимостей будет вида:

;

В общем виде вектор-столбец токов будет выглядеть следующим образом:

, где J₁₁, J₂₂ , J₃₃ – комплексные токи, подходящие к соответствующим узлам.

В окончательном варианте получим матричное уравнение:

, решая которое, мы найдем потенциалы всех узлов схемы.

4. Топологический метод для МУП.

Составим матрицу соединения узловых проводимостей ветвей схемы или её ориентированного графа:

В данной матрице строки характеризуют узлы (первый, второй и третий соответственно), а столбцы – ветви цепи (1-ю, 2-ю, 3-ю, 8-ю, 9-ю и 10-ю соответственно).

Составим матрицу комплексных проводимостей:

или в численном виде:

Составим вектор столбец источников тока:

Искомый вектор-столбец потенциалов узлов: найдем из матричных уравнений:

Таким образом, мы получим вектор-столбец искомых потенциалов.

С помощью программы MatLab, после приведенных выше действий был получен следующий результат:

.

Что полностью совпадает с найденными потенциалами по МУП с помощью правила Крамера.

Рассчитаем токи во всех ветвях по второму правилу Кирхгофа:

5. Проверка баланса мощностей.

По условию баланса мощностей, в цепи активные мощности источников должны быть равны потребляемым активным мощностям

. Проверим этот факт.

S_ист = U₂₁*J^* + E*I₈^*;

S_ист =13,0908 - 4,3429j;

Как видно активные и реактивные мощности совпадают, значит, токи и потенциалы мы нашли правильно.

6. Топографическая диаграмма.

Чтобы не загромождать чертеж, и в силу малости потенциала φ_3, мы не будем его обозначать.

7. Векторная диаграмма.