Задачи / 3семестр,ДЗ / Дз№2_третий семестр / Вар12

Цель работы: Расчет и исследование сложной электрической цепи переменного синусоидального тока (определить токи, напряжения, мощности оптимальным методом).

В нашу задачу входит рассчитать токи во всех шести ветвях данной цепи. В решении будут использоваться методы контурных токов и узлового потенциала, а также топологический метод.

R1 = 110 Ом R2 = 110 Ом R3 = 75 Ом R6 = 110 Ом R7 = 300 Ом R8 = 75 Ом R10 = 110 Ом J = 0.3 A E = 15 B L1 = 30 мкГн L2 = 50 мкГн C6 = 3 мкФ C10 = 2 мкФ F = 700 Гц

1. Метод контурных токов.

Составим граф-схему исходной цепи.

Изобразим на нем также токи ветвей дерева, так как они нам понадобятся при расчете топологическим способом. Не смотря на то, что в цепи ток синусоидальный, мы указали его направление. Мы будем работать с комплексными величинам, проводя такие же рассуждения, что и при расчете цепей постоянного тока.

Запишем комплексы сопротивлений всех ветвей, учитывая, что реактивные сопротивления будут мнимой частью комплексного числа, а активные – действительной.

Z₁ = R₁ + 2π*F*L₁*j;

Z₂ = R₂ + 2π*F*L₂*j;

Z₃ = R₃ ;

Z₆ = R₆ - 1/(2π*F*C₆)*j;

Z₇ = R₇;

Z₈ = R₈;

Z₁₀ = R₁₀ - 1/(2π*F*C₁₀)*j;

Запишем систему уравнений для контурных токов так же, как и для цепей постоянного тока.

I₁₁(Z₁+Z₂+Z₈) – I₃₃Z₂ + I₁₀₁₀Z₈= -E;

I₃₃(Z₃+Z₂+Z₆+Z₇) – I₁₁Z₂ + I₁₀₁₀ (Z₇+Z₆) + J(Z₆+Z₇)= 0;

I₁₀₁₀(Z₈+Z₇+Z₆+Z₁₀) + I₃₃ (Z₇+Z₆)+ I₁₁Z₈+J(Z₆+Z₇) =- E;

Эти же уравнения можно записать в матричной форме:

;

Решаем данную систему из трех уравнений методом Крамера. В матрицу комплексных сопротивлений ставим вместо первого столбца вектор-столбец ЭДС – таким образом получим новую матрицу (B1). Проделаем ту же операцию с остальными столбцами – получим еще 2 новые матрицы (B2, B3).

Полученный результат:

I₁₁ = -0,0742+0,0318j;

I₃₃ = -0,1408+0,0486j;

I₁₀₁₀ =- 0,1147 - 0,0537j

Мы нашли токи в ветвях 1, 3 и 10. Теперь по первому правилу Кирхгофа найдем токи во всех ветвях.

I₂ = I₁ – I₃ = 0,0666 - 0,0168j

I₆ =I₇ = - I₃ - J - I₁₀ = -0,0446+0,0051j

I₈ = -I₁₀ – I₁ = 0,1889+0,0220j

Проверим выполнение первого закона Кирхгофа для четвертого узла:

I₇+J = I₂ + I₈;

0,2554+0,0051j=0,2554+0,0051j

Закон выполняется!

2. Топологический метод для МКТ.

Составим матрицу контуров:

В матрице строки характеризуют ветви цепи, а столбцы – контуры. Если ветвь входит в контур, то ставим в данную позицию 1(если направление тока в ветви совпадает с контурным током) или -1(если эти токи встречны), если ветвь не принадлежит данному контуру, то ставим 0.

Составим матрицу комплексных сопротивлений:

; или то же самое с комплексных величинах:

.

Составим вектор столбец ЭДС.

Так как источник ЭДС есть только в восьмой ветви, то столбец будет следующим:

.

Составим вектор столбец источников тока в ветвях.

Если направление тока в контуре источника совпадает с направлением тока ветви, то поставим значение J, если эти токи встречны, то поставим –J. Если ветвь не принадлежит контуру источника тока, то поставим 0. В таком случае получим:

.

После того как мы составили все необходимые матрицы. Мы можем найти матрицу токов всех хорд цепи. Для этого произведем дополнительные вычисления:

_;

_;

Тогда .

Таким образом мы получим вектор-столбец искомых токов хорд.

С помощью программы MatLab, после приведенных выше действий был получен следующий результат:

.

Что в точности соответствует результату, полученному нами по методу контурных токов.

3. Метод узловых потенциалов

В данном методе не нужно составлять граф и выбирать дерево, что существенным образом облегчает нашу задачу. Необходимо заземлить один из узлов (пусть им будет второй) и составить систему уравнений для оставшихся.

2

1

5

3

4

a

b

c

d

e

Запишем комплексные проводимости для каждой ветви, учитывая, что Y=1/Z. Тогда матрица проводимостей будет вида:

;

Составим вектор-столбец токов, подходящих к узлам. В общем виде он будет выглядеть следующим образом:

, где J₁₁, J₃₃, J₄₄, J₅₅ – комплексные токи, подходящие к соответствующим узлам.

В окончательном варианте получим матричное уравнение:

, решая которое, мы найдем потенциалы всех узлов схемы. Зная комплексные потенциалы, мы легко можем найти токи во всех ветвях по второму закону Кирхгофа.

Рассчитаем токи во всех ветвях по второму правилу Кирхгофа:

4. Топологический метод для МУП.

Составим матрицу соединения узловых проводимостей ветвей схемы или её ориентированного графа:

В данной матрице строки характеризуют узлы (второй, третий и четвертый соответственно), а столбцы – ветви цепи (1-ю, 2-ю, 3-ю, 6-ю, 7-ю, 8-ю и 10-ю соответственно).

Составим матрицу комплексных проводимостей:

или в численном виде:

Составим вектор столбец источников тока:

Искомый вектор столбец потенциалов узлов: найдем из матричных уравнений:

Таким образом мы получим вектор-столбец искомых потенциалов узлов.

С помощью программы MatLab, после приведенных выше действий был получен следующий результат:

.

Что полностью совпадает с найденными потенциалами по МУП.

5. Проверка баланса мощностей.

По условию баланса мощностей, в цепи активные мощности источников должны быть равны потребляемым активным мощностям. Это касается и реактивных мощностей. Проверим этот факт.

S_ист = U₄₁*J^* + E*I₈^*;

S_ист =8,1981 – 1.9736j.

Как видно активные и реактивные мощности совпадают, значит, токи и потенциалы мы нашли правильно.

//Никита, следующие диаграммы для моего варианта. Если, что-то не понятно будет, то звони, отвечу на все вопросы. Потенциалы дополнительных точек ТВОЕГО ВАРИАНТА приведены ниже. Их и нужно будет расставлять на диаграмме. Писать их вроде не надо, только расставить!

6. Топографическая диаграмма.

7. Векторная диаграмма.

9