Задачи / 3семестр,ДЗ / Дз№2_третий семестр / Вар7

Цель работы: Расчет и исследование сложной электрической цепи переменного синусоидального тока (определить токи, напряжения, мощности оптимальным методом).

R1 = 110 Ом R2 = 200 Ом R3 = 75 Ом R6 = 110 Ом R10 = 110 Ом R8 = 75 Ом J = 0.3 A E = 15 B L1 = 30 мкГн L2 = 50 мкГн C6 = 3 мкФ C10 = 2 мкФ F = 600 Гц

1. Метод контурных токов.

Составим граф-схему исходной цепи.

Изобразим на нем также токи ветвей дерева, так как они нам понадобятся при расчете топологическим способом. Мы будем работать с комплексными величинам, проводя такие же рассуждения, что и при расчете цепей постоянного тока.

Запишем комплексы сопротивлений всех ветвей, учитывая, что реактивные сопротивления будут мнимой частью комплексного числа, а активные – действительной.

Z₁ = R₁ + 2π*F*L₁*j;

Z₂ = R₂ + 2π*F*L₂*j;

Z₃ = R₃ ;

Z₆ = R₆ - j/2π*F*C₆;

Z₈ = R₈;

Z₁₀ = R₁₀ - j/2π*F*C₁₀ ;

Система уравнений для контурных токов:

I₁₁(Z₁+Z₃+Z₁₀) + I₂₂Z₃ + I₈₈Z₁₀ –JZ₁₀ = 0;

I₂₂(Z₃+Z₂+Z₆) + I₁₁Z₃ - I₈₈Z₆ = 0;

I₈₈(Z₈+Z₆+Z₁₀) - I₂₂Z₆ + I₁₁Z₁₀ -JZ₁₀ = E;

Эти же уравнения можно записать в матричной форме:

;

Решаем данную систему методом Крамера. В матрицу комплексных сопротивлений ставим вместо первого столбца вектор-столбец ЭДС –получаем новую матрицу (B1). Тоже самое делаем с остальными столбцами – получаем еще 2 новые матрицы (B2, B3).

В результате получаем:

I₁₁ = 0.0529 -0.0337j;

I₂₂ = 0.0424 -0.0202j;

I₈₈ =0.1645 +0.0045j

Теперь по первому правилу Кирхгофа найдем токи во всех ветвях.

I₃ = - I₁ – I₂ = -0.0952 +0.0539j

I₆ = I₈ – I₂ = 0.1221 +0.0247j

I₁₀ = I₁ + I₈ -J= -0.0826 -0.0292j

Проверим выполнение первого закона Кирхгофа для первого узла:

I₆ = I₃ + I₁₀ + J;

0.1221 +0.0247j = -0.0952 +0.0539j+-0.0826 -0.0292j +0.3

0.1221 +0.0247j =0.1221 +0.0247j

Выполняется.

2. Топологический метод для МКТ.

Составим матрицу контуров:

В матрице строки характеризуют ветви цепи, а столбцы – контуры. Если ветвь входит в контур, то ставим в данную позицию 1(если направление тока в ветви совпадает с контурным током) или -1(если эти токи встречны), если ветвь не принадлежит данному контуру, то ставим 0.

Матрица комплексных сопротивлений:

; или в комплексных величинах:

.

Составим вектор столбец ЭДС.

Так как источник ЭДС есть только в восьмой ветви, то столбец будет следующим:

.

Составим вектор столбец источников тока в ветвях.

Если направление тока в контуре источника совпадает с направлением тока ветви, то поставим значение J, если эти токи встречны, то поставим –J. Если ветвь не принадлежит контуру источника тока, то поставим 0. В таком случае получим:

.

Теперь мы можем найти матрицу токов всех хорд цепи. Для этого произведем дополнительные вычисления:

_;

_;

Тогда .

Так получаем вектор-столбец искомых токов хорд.

С помощью программы MatLab, после приведенных выше действий получается следующий результат:

.

Он соответствует результату, полученному нами по методу контурных токов.

3. Метод узловых потенциалов

Заземляем один из узлов (пусть им будет четвертый) и составляем систему уравнений для оставшихся.

Запишем комплексные проводимости для каждой ветви, учитывая, что Y=1/Z. Тогда матрица проводимостей будет вида:

;

Составим вектор-столбец токов, подходящих к узлам:

, где J₁₁, J₂₂, J₃₃ – комплексные токи, подходящие к соответствующим узлам.

В окончательном варианте получим матричное уравнение:

, решая которое, мы найдем потенциалы всех узлов схемы. С помощью комплексных потенциалов, мы можем найти токи во всех ветвях по второму закону Кирхгофа.

Рассчитаем токи во всех ветвях по второму правилу Кирхгофа:

4. Топологический метод для МУП.

Составим матрицу соединения узловых проводимостей ветвей схемы или её ориентированного графа:

В данной матрице строки характеризуют узлы (второй, третий и четвертый соответственно), а столбцы – ветви цепи (1-ю, 2-ю, 3-ю, 5-ю, 7-ю и 8-ю соответственно).

Составим матрицу комплексных проводимостей:

или в численном виде:

Составим вектор столбец источников тока:

Искомый вектор столбец потенциалов узлов: найдем из матричных уравнений:

Таким образом, мы получим вектор-столбец искомых потенциалов узлов.

С помощью программы MatLab, после приведенных выше действий был получен следующий результат:

.

Это совпадает с результатами, которые мы получили в методе узловых потенциалов.

5. Проверка баланса мощностей.

S_ист = U₁₃*J^* + E*I₈^*;

S_ист = 6.3562 -2.3908j;

Как видно активные и реактивные мощности совпадают, значит токи и потенциалы мы нашли правильно.

6. Топографическая диаграмма.

По причине малости потенциала точки b, мы не будем его изображать на топографической и векторной диаграммах, чтобы не загромождать весь чертеж.

7. Векторная диаграмма.

10