Лекция 11.

Синтез реактивных двухполюсников с потерями по методу Кауэра.

Формируем :

1. Выделяем все полюса, лежащие на мнимой оси. Получаем .

2. Формируем остаток , который не имеет полюсов, лежащих на мнимой оси.

3. приводим к виду минимально активного сопротивления, т.е находим .

4. Формируем остаток: .

5. Итак, мы получили функцию, у которой полюса лежат только в левой полуплоскости (образуют комплексно-сопряженные пары). Однако формально полюса, лежащие на мнимой или действительной осях, может иметь обратная функция:

.

6. Выделяем у функции полюса, лежащие на мнимой оси, получаем .

7. Формируем остаток , который не имеет полюсов, лежащих на мнимой оси.

8. Приводим к виду минимально активной проводимости .

9. Формируем остаток , все полюса которого лежат в левой полуплоскости.

10. Снова говорим о том, что формально полюса, лежащие на мнимой или действительной оси может иметь обратная к функция

.

В итоге получаем своеобразную лестницу:

,

схемная реализация которой будет иметь следующий вид:

Если не получилось синтезировать цепи каким-либо из методов, вполне возможно, что получится другим.

Задача. Синтезировать сопротивление, имеющее следующий вид в операторной форме:

.

Решение.

Прежде чем приступать к синтезу, нужно проверить выполнение необходимых условий, о которых говорилось выше, потому что может оказаться, что данный двухполюсник синтезировать невозможно.

В случае, когда наша функция имеет пару комплексно-сопряженных корней, лежащих на мнимой оси, рекомендуется начинать именно с них. В нашем случае это слагаемое , где, обратим еще раз внимание, степень полинома числителя на 1 меньше степени полинома знаменателя. Тогда

.

Причем мы должны быть уверены, что получим в результате взятия предела положительное вещественное число. В получившееся выражение мы собираемся подставлять только значение , отдельно подставлять комплексно-сопряженные корни нет смысла, поскольку по нашему предположению слагаемые с должны сократиться (в противном случае синтез при помощи данного метода невозможен). Проверим это:

.

Значит в разложении исходной функции есть слагаемое , которое соответствует физической реализации, изображенной на рисунке.

Теперь формируем остаток. Заметим, что в результате уже рассмотренные полюса должны уйти из рассмотрения:

.

Заметим, что в числителе присутствует полюс, лежащий на мнимой оси . По методу Кауэра уберем этот полюс, сформируем проводимость:

.

Выделим полюс вида , который соответствует индуктивности в поперечной ветви. Найдем :

.

Снова формируем остаток:

.

Степень полинома числителя равна степени полинома знаменателя, нули и полюса на мнимой оси отсутствуют. Приводим результат к виду минимально активного сопротивления:

.

Проверяем 2 частоты: и . Проверим, почему при одной из данных частот сопротивление будет минимально активным. Если , то , а если , то . Соответственно, из этих двух частот выбираем , при которой

.

Значение мы в дальнейшем используем для того, чтобы показать, почему вообще частоту нельзя выбирать произвольно. Формируем следующее выражение по методу Кауэра:

,

что соответствует цепочке (см. результирующую схему). Синтез успешно завершен.

Посмотрим, что бы произошло, если бы мы взяли частоту и , т.е. произвольное, а не минимально активное сопротивление:

,

а отрицательное значение мы получить не можем: противоречие с условием о положительных вещественных коэффициентах.