Метод переменных состояния.

Появление этого метода решения совпало по времени с появлением численных методов решения задач и изобретением компьютеров. Для достаточно сложных цепей все изученные ранее методы (МУП, МКТ, операторный метод и др.) на той или иной стадии решения приводят к таким подзадачам как определение нулей и полюсов функций, определение реакции цепи на переходную характеристику, решение системы интегро-дифференциальных уравнений. Все эти задачи достаточно сложны, и «на пальцах» задачу решить не удастся.

Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим функцию вида

.

При переходе от изображений к оригиналам, столкнемся со следующими трудностями:

1. Вычисление коэффициентов полиномов числителя и знаменателя связано с вычислением и преобразованием матриц, зависящих от в соответствующей степени.

2. При определении нулей и полюсов полиномов , т.е. при решении уравненийипри степенирешение осуществляется по итерационным процедурам, которые являются источником погрешностей.

3. Вычисление нулей и полюсов в случае совпадающих и близких по значению корней уравнений – дополнительный источник погрешностей, поскольку при численных методах решения близкие по значению корни считаются кратными.

4. В случае кратных корней вычисление производной го порядка производится через вычисление производнойго порядка – дополнительный источник погрешностей.

Оказывается, метод узловых потенциалов можно модифицировать, чтобы ликвидировать перечисленные недостатки. Для этого потребуется следующее:

1. Численные методы интегрирования.

2. Методы разложения и преобразования матриц.

3. Дискретные модели элементов (например, индуктивностьбудет заменяться паройгиратор + емкость).

Тем не менее, остаются цепи (импульсные характеристики), где МУП применить крайне сложно.

Решить все вышеперечисленные проблемы можно при помощи метода переменных состояния.Основная идея метода переменных состояния состоит в записи следующих двух уравнений:

Уравнение называетсяосновным уравнением МПС в нормальной форме, уравнение–выходное уравнение.

• -вектор выходных воздействий размерности, который описывает источники тока и/или напряжения;

• -вектор реакции цепи, описывающий токи и/или напряжения на элементах; имеет размерность;

• –вектор вспомогательных переменныхразмерностью, который при определенных условиях является вектором переменных состояния.

• - матричные коэффициенты, зависящие только от параметров цепи, причем размерность матрицывсегда.

Преимущества таких методов:

1. Их решение хорошо разработано как в аналитическом виде, так и в численных методах.

2. Число уравнений по МПС меньше, чем по МУП.

3. Метод расширяется на нелинейные цепи.

Степень сложности и начальные условия.

Для любой цепи в любом случае справедливы законы Кирхгофа и для каждого элемента заданы компонентные уравнения, определяющие связь между током и напряжением. Если на основании этих данных можно записать уравнение вида:

,

то для системы можно записать уравнение по МПС в нормальной форме. Состояние системы определяется минимальным набором элементов. Набор вспомогательных переменных является вектором переменных состояния в том случае, если

1. Состояние системы в любой момент времени может быть определено на основании состояния системы в момент времении зависимости входного воздействияпри.

2. Переменные состояния при вместе с входными воздействиями припозволяют однозначно определить любые токи и напряжения для любых элементов цепи при.

Итак, систему уравнений из иможно разрешить. Посмотрим, как это можно сделать. Итак, пусть задана система дифференциальных уравненийго порядка. Она будет содержатьпостоянных интегрирования, для определения которых потребуетсяначальных условий. Посмотрим, каковы могут быть эти начальные условия и каковы они быть не должны. Как уже говорилось выше, набор начальных условий должен бытьминимальным. Набор начальных условий из токов через индуктивности и напряжений на емкостяхможно использовать для решения основного уравнения по МПС, поскольку из законов коммутации следует, что эти величины будут сохранять при коммутации свои значения (при некорректных начальных условиях используются соответственно потокосцепление и заряды на емкостях). Набор зависимых переменныхне дает минимального набора, поскольку для определения их значений потребуется составление дополнительных уравнений по определению начальных условий и вычислению постоянных интегрирования.

Итак, переменные состояния выбираются так чтобы их начальные значения позволяли решить уравнение.