Топология цепей и матричные уравнения.

Расчет цепей сводится к получению математической модели и решения получившейся системы.

Математическая модель.

Схемой электрической цепи называется ее графическое изображение, показывающее последовательность соединений ее участков и отображающей свойства рассматриваемой цепи.

Ветвью электрической цепи называется участок, ток в котором в любой момент времени имеет одно и то же значение на всей протяженности.

Узел – место соединения трех и более ветвей. При компьютерном подсчете узлами считаются и соединения двух ветвей.

Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Независимый контур – контур, отличающийся от других по крайней мере одной ветвью.

Граф схемы – графическое изображение цепи, соединяющее все узлы и ветви схемы. Ветвь с источником тока ветви графа не образует, поскольку ток через ветвь, содержащую источник тока, заведомо известен, смысла его включать в граф нет. Тем не менее, при машинном подсчете ветвь с источником тока включается в граф.

Дерево – совокупность ветвей дерева (подграф), объединяющая все узлы и не образующая замкнутых контуров. Ветви графа, входящие в дерево, называютсяветвями дерева.Не входящие в дерево ветви называютсяхордами. Выбор дерева неоднозначен. Количество хорд дерева равно количеству независимых контуров графа.

Различают модели для двух подклассов задач:

1. Дана информация о входном воздействии: - передаточная функция цепи. Нужно определить выходное воздействие. Этозадача анализа.

2. Дана информация о входном воздействии и о требуемой реакции или выходном сигнале цепи для схемы. Т.е. мы должны определить конфигурацию схемы и значения параметров:. Этозадача синтеза.

Законы Кирхгофа.

1. Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в любом узле цепи в любой момент времени равна нулю. В общем случае данный первый закон Кирхгофа применим к сечениям. Понятно, что заряды не могут накапливаться через сечения, поэтому алгебраическая сумма мгновенных значений тока через сечение = 0.

2. Алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений по любому замкнутому контуру равна нулю.

Возьмем схему, содержащую все рассматриваемые нами элементы. Пронумеруем ветви, выберем условно-положительные направления токов. Затем воспользуемся законами Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа:

По второму закону Кирхгофа:

.

Замечание:

Для : в шестой ветви ток сначала втекает в зажим, потом идет катушка индуктивности; в третьей ветви ток тоже сначала втекает в зажим, потом идет катушка, т.е. имеем согласное включение, а значит перед слагаемым с взаимной индуктивностью будет такой же знак, как и перед собственной индуктивностью.

Для : в 4 ветви ток сначала идет через индуктивность, потом проходит одноименный зажим. В 7 ветви по протеканию тока сначала идет одноименный зажим, потом индуктивность, значит перед слагаемым со взаимной индуктивностью будет знак противоположный тому, который стоял перед собственной индуктивностью.

7