Лекции / Лекции (3 семестр) / Лекция 05

Лекция 5.

Продолжение темы МКТ.

Правая часть: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то она со знаком «+», в противном случае – со знаком минус. Если в контуре присутствует несколько ЭДС, то берется их алгебраическая сумма. При переходе от токов ветвей к контурным токам первый закон Кирхгофа выполняется всегда.

Количество уравнение по МКТ:

- столько уравнений, сколько уравнений по второму закону Кирхгофа.

Если в цепи присутствуют независимые источники тока, то число уравнений уменьшается на количество источников токов:

.

Запишем уравнения по МКТ в общем виде:

,

или в матричном виде,

.

Здесь – собственное сопротивление контура, которое равно сумме всех сопротивлений, входящих в контур; оно всегда берется со знаком « + ». – сумма сопротивлений между i и j контурами; берется со знаком « + », если направления токов в контурах совпадают, иначе – со знаком « – ». - алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур.

Получим матричное уравнение по МКТ формально, поскольку пока не ясно, можем мы получить подобное матричное уравнение для любой цепи.

Алгоритм записи уравнений по МКТ:

1. чертится граф;

2. выбирается дерево;

3. выбираются независимые контуры путем добавления хорд к ветвям дерева;

4. выбираются направления контуров;

5. записываются уравнения по методу контурных токов числом, указанным выше;

6. определяются контурные токи (решается система уравнений);

7. определяются токи во всех ветвях; обратим внимание на то, что через каждую хорду будет протекать только контурный ток:

но .

До формальной записи рассмотрим еще один частный случай. Мы говорили о системе, в которую входят только источники ЭДС; также мы отметили, что источники тока позволяют уменьшить размерность системы. Посмотрим, за счет чего это происходит. Перерисуем схему, которой мы уже пользовались, но заменим в первой ветви

источник ЭДС на источник тока. Заодно вспомним, почему ветвь с источником тока не образует ветви дерева. Составим по МКТ систему уравнений для новой схемы:

Любопытно, то в первом уравнении – связь между током независимого источника и контурными токами. Но - величина известная, поэтому первое уравнение является избыточным. Решая систему из (2) и (3) уравнение, находим контурные токи и . Вот поэтому мы и не рассматриваем ветвь, содержащую источник тока.

Посмотрим теперь, как в случае цепи, содержащей источник тока, рисовать граф и дерево. Сначала все аналогично случаю, когда в цепи не было источника тока. Но

нужно иметь в виду следующее важно замечание:

Ветвь с источником тока замыкается по ветвям дерева и падение напряжения от идеального источника тока учитывается на ветвях дерева, образующих с этим источником замкнутый контур.

Падение напряжения в нашем случае учитывается на ветвях, содержащих и .

Источник тока можно трактовать еще и таким образом: в первой ветви считается сразу известным контурный ток. И ток через четвертое сопротивление будет складываться не только из найденного контурного тока , но и из некого «виртуального» контурного тока . Т.е. в данном случае .

Отметим еще тот факт, что в первом уравнении нашей системы не будет , т.к. ! Т.е. не влияет на токи в цепи. Но зато оно повлияет на баланс мощностей (войдет в баланс дважды: как источник и как потребитель ).

Получим систему уравнений МКТ формально. Воспользуемся стандартной ветвью.

Вспоминаем, что токи ветвей связаны с токами хорд следующим соотношением: , откуда становится ясно, что наши контурные токи – это и есть . Далее,

Система была неполная, но мы сменили базис и перешли к полной системе.

Отсюда можно определить:

Уравнение и есть формальное уравнение записи по МКТ. Здесь действительно учтены как независимые источники ЭДС, так и независимые источники тока. Количество уравнение получается автоматически. Также из уравнения становится ясно, что формальная запись и выглядит следующим образом:

.

Принцип суперпозиции.

Пусть в цепи есть активный двухполюсник, и нам нужно посчитать ток в некоторой k-й ветви. Вообще есть общий подход (составляем уравнении по МКТ, находим все токи…), но мы попробуем несколько упростить задачу. Будем рассуждать так: пусть у нас есть уравнения по МКТ, причем выберем дерево таким образом, чтобы k-я ветвь являлась хордой, и входила только в k-й контур. Формируем уравнения по МКТ и решаем их, используя правило Крамера:

,

где - контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС плюс перенесенные в правую часть падения напряжения от идеальных источников тока), - алгебраическое дополнение, полученное из главного определителя системы и умноженное на . Контурные ЭДС – это некоторая комбинация из реальных ЭДС в ветвях и реальных источников тока которые также расположены в стандартных ветвях. Ясно, что - проводимости, группируем эти проводимости, стоящие перед каждой из реальных ЭДС; перед каждым из источников тока будет стоять некий безразмерный коэффициент:

,

где - коэффициенты, равные сумме проводимостей, которые стояли в различных слагаемых перед соответствующей ЭДС.

Принцип суперпозиции:

Ток, протекающий в k-й ветви, равен алгебраической сумме токов, обусловленных каждым из источников цепи.

На практике: из принципа суперпозиции следует принцип наложения:

1. исключаем все источники, за исключением первого, и определяем ток, протекающий через k-й элемент; исключение проводим с учетом внутренних сопротивлений элементов;

2. … и т.д. пока не пройдем все источники;

3. посчитав ток от каждого из элементов, берем алгебраическую сумму этих токов и получаем искомый ток;

Замечание: Метод наложений используется совместно с методом пропорциональных величин.

Принцип взаимности.

П

усть у нас есть m – я ветвь, есть один источник в k – й ветви. Найдем по принципу суперпозиции:

Если теперь перетащить источник в m – ю ветвь, то, в свою очередь,

Здесь - одно и то же (сопротивления не меняли), а из свойства линейности следует свойство взаимности: . Значит

.

Метод узловых потенциалов.

Заметим, что в изображенной цепи 3 узла. Известно, что распределение токов и напряжений не изменится, если мы заземлим любой из узлов и примем его потенциал равным нулю. Заземлим узел с потенциалом . По первому закону Кирхгофа для двух оставшихся узлов запишем:

По обобщенному закону Ома, запишем:

Подставляем в и группируем слагаемые с одинаковыми потенциалами:

- это и есть уравнения по МУП.

Уравнения имеют следующую структуру. Потенциал узла умножается на его собственную проводимость - сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся к узлу. Из этого произведения вычитаются потенциалы узлов, имеющие с рассматриваемым общие ветви, умноженные на взаимную проводимость этих узлов (сумму проводимостей всех ветвей, которые находятся между этими двумя узлами). Потенциал узла, потенциал которого мы приняли равным нулю, естественно, в уравнения не входит. Матрица в общем случае будет симметрична, на главной диагонали будут стоять собственные проводимости узлов; эти элементы матрицы всегда будут иметь знак «плюс». Недиагональные элементы всегда будут иметь знак «минус». В правой части уравнений– алгебраическая сумма произведений источников ЭДС на проводимости соответствующих ветвей, причем это произведение берется со знаком «+», если ЭДС направлена к узлу, и со знаком « – », если от узла.

Рассмотрим случай, когда в цепи будут присутствовать источники тока. Понятно, что проводимость первой ветви в этом случае будет равняться нулю, и первое уравнение будет выглядеть следующим образом:

,

источник тока войдет в правую часть со знаком «плюс», если он направлен к узлу и со знаком «минус» в противоположном случае. Количество уравнений не уменьшается. Следовательно, уравнения по

МУП не зависят от изначально выбранных направлений токов в ветвях. Количество уравнений по МУП:

.

МУП хорош тем, что не нужно выбирать дерево.

Посмотрим на знаки перед источниками, постараемся понять, почему направление источников так хитро учитывается. Докажем правильность расстановки знаков, обратившись к стандартной ветви. Рассмотрим схему, содержащую узлов, и рассмотрим стандартную ветвь, сначала без источника тока.

Естесственно,

.

Значит

Для любого узла выполняется первый закон Кирхгофа (выбрасываем только собственный узел).

.

Учтем, что узел к узлу никакого отношения не имеет, его можно вынести за скобку:

.

Отсюда

,

сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся к узлу, умноженная на потенциал собственного узла, взятая со знаком «плюс», минус сумма произведений проводимостей между i–м и j–м узлом и потенциалов соответствующих узлов равна взятой со знаком «минус» сумме произведений источников на проводимости.

Мы доказали все знаки, полученные ранее на частном примере.

Теперь вспоминаем об источнике тока. В данном случае он будет вытекающим. С учетом его наличия, уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

.

Полученный результат также соответствует результату, полученному ранее для частного примера.

Если мы теперь посмотрим на уравнение

,

где в могут входить как источники тока, так и источники ЭДС, умноженные на проводимость, - собственные проводимости, берутся со знаком « + », - взаимные проводимости, берутся со знаком « – ».

Получим эту же систему уравнений в стандартном виде, т.е. через стандартную ветвь. Для стандартной ветви:

.

Опираясь на закон Ома и записанные выше уравнения, получим:

.

Вспомним про редуцированную матрицу инциденций, умножим правую и левую часть на :

Сравниваем число уравнений и число неизвестных. Матрица дает нам N-1 уравнений, а число неизвестных – это число ветвей графа. Вспоминаем, что

Подставляем это в полученное ранее выражение:

Свели уравнение к полному. Получаем относительно :

Теперь можем найти все необходимое:

,

Замечание: Матрица не требует составления дерева, поэтому вычислительный алгоритм для машин будет относительно простым.

7