Лекция 07.

Выводы, сделанные из предыдущей лекции:

1. соответствие временных функций и комплексных величин (векторов), которое справедливо только для линейных цепей (принцип суперпозиции);

2. из двух составляющих - sin и cos - физическая реализация возможна только для синуса.

3. переход в область действительных времен (оригиналов) осуществляется путем выделения мнимой части.

Основная идея состояла в том, чтобы уйти от системы интегральных и дифференциальных уравнений. Путь у нас есть ток, у него есть отображение:

,

посмотрим, что происходит с его производной:

.

Мы говорили, что переход осуществляется по синусу, поэтому

.

Теперь переходим в область комплексных времен (изображений):

.

Вывод: В области комплексных величин операция дифференцирования заменяется умножением на фактор .

Посмотрим теперь на интеграл:

.

Вывод: В области комплексных величин операция интегрирования заменяется делением на фактор .

Теперь ясно, что мы от системы интегро-дифференциальных уравнений можем уйти в область комплексных величин, решить задачу, а потом вернуться к область действительных функций путем выделения мнимой части.

Еще мы ранее говорили о системе вращающихся векторов: у них у всех одинаковая частота. В этом мы сейчас и убедились: действительно, у всех рассматриваемых векторов есть множитель – единичный вектор, обеспечивающий вращение всей системы против часовой стрелки с одной частотой. Значит мы может рассматривать только взаимное расположение наших векторов на комплексной плоскости, а о факторе нужно вспоминать только тогда, когда переходим в область действительных времен.

Расчет синусоидальных функций с использованием комплексных величин называется комплексным или символическим методом.

Задача.

Возьмем цепь (см. рисунок ниже). Известно, что

.

Нужно найти ток:

Частота тока и напряжения одна и та же, значит необходимо найти и .

Решение:

Выполним решение двумя способами:

1. непосредственным интегрированием с использованием заданных функций;

2. символическим методом;

1 Способ:

Т.к. вектора тока и напряжения вращаются с одинаковой частотой, их взаимное расположение будет зафиксировано. Тогда пусть , и будем считать, что

.

Записываем второй закон Кирхгофа для цепи:

.

Здесь мы возьмем определенный интеграл, чтобы не выпускать начальные значения и смотреть, что происходит в цепи. Далее определенным интегралом пользоваться не будем (впоследствии будет показано, почему). Подставляем в это уравнение начальные:

.

Мы уже говорили, что реакцией цепи на синусоидальное воздействие будет синусоидальное воздействие той же частоты. Поэтому в установившемся режиме (а мы сейчас рассматриваем установившиеся режимы) сумма . В общем случае эти слагаемые обусловлены переходным процессом. Казалось бы, вполне естественно писать определенный интеграл . Но - некая «предыстория», это напряжение, которое имеется в нулевой момент времени на конденсаторе (это напряжение появляется в результате переходного процесса, по сути - интеграл от до ).

Итак, к этому материалу мы вернемся в следующем семестре, а пока будем писать неопределенный интеграл. Теперь решим получившееся уравнение, взяв два удобных момента времени:

1. :

;

2. :

;

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Решаем:

.

Сдвиг фаз находим делением :

.

Из этого уравнения следует, что угол сдвига фаз между током и напряжением определяется только параметрами самой цепи.

Вернемся к первоначальному уравнению для этой задачи и посмотрим размерность:

,

получаем, что и - реактивные сопротивления – сопротивления индуктивности и емкости на переменном токе, измеряются, как и активные сопротивления, в Омах. График зависимости реактивных сопротивлений от изображен на рисунке.

2 Способ:

Теперь те же самые выражения получим символическим методом:

.

Видно, что все вектора вращаются с одной частотой, у всех величин будет фактор . Тогда, сокращая на и вынося в левой части за скобку, получим:

,

где - комплексное сопротивление цепи.

Важно!!!

Здесь именно неперечеркнуто!!! будет иметь другой смысл:

При этом комплексное сопротивление индуктивности и емкости соответственно имеют вид:

,

.

Комплексные величины равны тогда и только тогда, когда равны их амплитуды и фазы:

,

.

Посмотрим на реактивные сопротивления, на и . Пусть для тока есть

,

тогда для индуктивности:

Из последнего уравнения следует, что и будут располагаться так, как показано на рисунке (действительно, ). Аналогично для емкости:

.

Тогда вектор напряжения относительно вектора тока будет направлен вниз (см. рисунок).

Итак, если вращение вектора тока и вектора напряжения по кратчайшему пути происходят против часовой стрелки, то такой угол сдвига фаз является положительным, если по часовой стрелке – отрицательным.