Задание 1.1

Дано: R₁=R₂=1 Ом

С=1Ф

E=10Е

Найти: U_с(t)

Решение.

Цепь первого порядка. Описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка.

U_c(t)=U_{c св}(t) + U_{c пр}(t)

Найдём U_{c пр}(t):

U_{c пр}=UR₂=(E/(R₁+R₂))*R₂

U_{c пр}=(10/2)*1=5 B

Найдём p (с помощью входного сопротивления):

Z_вх(p)=R1+((1/pC)*R₂/(R₂+1/pC))=(pCR₁R₂+R₁+R₂)/(R₂pC+1)

Z_вх(p)=0, поэтому pCR₁R₂+R₁+R₂=0

p=-(R₁+R₂)/CR₁R₂

p=-2/1=-2

Так как цепь первого порядка, то U_{c св}(t)=A exp(pt)

Найдём A:

U_c(0+)=U_{c св}(0+)+U_{c пр}(0+) (для момента времени t=0+)

U_{c св}(0+)=A

U_c(0+)=U_c(0-)=0

U_{c пр}(0+)=U_{c пр}=(E/(R1+R2))*R2=5

откуда

A=-U_{c пр}(0+)

A=-5

Из этого следует, что:

U_{c св}(t)=A exp(pt)= -5exp(-2t)

U_c(t)=U_{c пр}(t)+U_{c св}(t)

U_c(t)=5-5exp(-2t)

Задание 1.2

(классический метод)

Дано: R1=R2=1 Ом

L=1 Гн

i(t)=sqrt(2)sin(t-3)

Найти: i_l(t)

Решение.

Цепь первого порядка. Запишем:

I_L=i_Lпр+i_Lсв

Найдём i_Lпр(t). Для этого составим схему замещения:

i_Lпр(t)=0

Найдём p через входное сопротивление: (p=jw)

Z_вх =R₁(R₂+pL)/(R₁+R₂+pL)

Zвх=0, R₁R₂+R₁pL=0

p=-R₂/L

p=-1

Запишем выражение для момента времени t=0+ :

i_L(0+)=i_Lсв(0+)+i_Lпр(0+)

i_Lпр(0+)=0

i_Lсв(0+)=A

i_L(0+): (составим схему для i_L(0+))

для нового источника тока:

(момент времени t=0-)

J₂=i_L(0-)=I*(R₁/R₁+R₂+jwL)

J₂=i_L(0-)=exp(-3j)*R1/(R1+2 fLj+R2)=exp(-3j)/(2+314j)=

=exp(-3j)/314exp(90j)=

=0.03exp(-93j)=0.03sin(wt-93)

J₂(0)=0.03*(-0.99)=-0.03

Таким образом:i_L(0+)=i_L(J)(0+)+i_L(J2)(0+)

Для i_L(J)(0+):

i_L(J)(0+)=0

Для i_L(J2)(0+):

i_L(J2)(0+)=J₂=i_L(0+)=-0.03

Получаем: i_L(0+)=i_L(0-)+0=-0.03

i_L(0+)=i_Lсв(0+) , A=0.03

Подставив все полученные значения в первое выражение, мы получим:

I_L(t)=-0.03exp(-t)

(операторный метод)

Изобразим новую схему:

воспользуемся методом контурных токов:

J(p)(R₁)-I(p)(R₁)=0

I(p)(R₁+R₂+pL)-J(p)(R₁)=Li_L(0-)

J(p)R1=I(p)R1

I(p)(2+p)-I(p)=-0.03 (i_L(0-) взято из решения классич. методом)

I(p)(1+p)=-0.03

I(p)=-0.03/(p+1)

p=-1

тогда I(t)=(-0.03/1)exp(-t)

I(t)=(-0.03)exp(-t)