Задание 2.1

Дано: R₁=R₂=R₃=1 Ом

L= 1 Гн

J=10 A

Найти: i₁(t)

Решение.

Цепь первого порядка. Запишем для неё:

i₁(t)=i_1св(t)+i_1пр(t) (1)

Найдём i_1пр(t):

i_1пр(t)=J*R₃/(R₃+R₁)

i_1пр(t)=10/2=5

Найдём p (p=jw):

разомкнём цепь в любой ветви, за исключением ветви,

содержащей источник тока:

R₁+R₂(R₃+pL)/(R₂+R₃+pL) =0

R₁R₂+ R₁R₃+R₁pL+R₂R₃+R₂pL=0

p=-(R₁R₂+R₁R₃+R₂R₃)/R₁+R₂

p=-3/2

Теперь запишем уравнение для момента времени t=0+:

i₁(0+)=i_1св(0+)+i_1пр(0+) (2)

i_1св(0+)=A exp(pt)

i_1пр(0+)=J*R₃/(R₃+R₁)=5

i₁(0+):

методом наложения найдём ток в цепи,

учитывая, что для нового источника тока

J₃=i_L(0-)

Посмотрим схему до коммутации:

видно, что J₃=i_L(0-)=0

(метод наложения):

i_1(J)(0+)=J=10

i_1(J3)(0+)=0

откуда i₁(0+)=10+0=10

Подставив полученные значения в (2):

10=A+5, A=5

В результате:

i₁(t)=5+5exp(-3/2t)

Задание 2.2

Дано: E₁=E₂=100 В

R₁=40 Ом

R₂=10 Ом

C=1 мкФ

Найти: i₂(t)

Решение.

Цепь первого порядка.

i₂(t)=i_2св(t)+i_2пр(t)

Найдём i_2пр(t):

i_2пр(t)=0 (видно из схемы)

Найдём теперь p. Ищем входное сопротивление по схеме:

(учитываем, что Z_вх=0): R₁+R₂+1/pC=0

R₁pC+R₂pC+1=0

p(R₁C+R₂C)=-1

p=-1/(R1C+R2C)

p=-20000

Для момента времени t=0+:

i₂(0+)=i_2пр(0+)+i_2св(0+)

i_2пр(0+)=0

i_2св(0+)=A

Новый источник ЭДС - это величина, равная напряжению на конденсаторе до коммутации. Для нахождения E₂=U_C (0-) составим схему для момента времени t<0:

(схема до коммутации) : U_C(0-)=E₁

Вернёмся к предыдущей схеме и найдём значения тока от каждого источника ЭДС в отдельности:

i_{2 Uc(0-)}(0+)=E₁/(R₁+R₂) i_{2 E2}(0+)=E₂/(R₁+R₂)

тогда i₂(0+)=(E1+E2)/(R1+R2)

i₂(0+)=4 т.е. A=4

В итоге получим:

i₂(t)=4exp(-20000t)