Задание 3.1

Дано: R=0.5 Ом

C=2Ф

L=1 Гн

J=20 A

U_C(0)=0

Найти: U_C(t)

Решение.

(классический метод)

UC(t)=U_Спр(t)+U_Cсв (t)

Найдём U_Cпр(t):

U_Cпр(t)=JR=20*0.5=10

Найдём p:

R+pL+1/pC=0

RpC+p*pLC+1=0

2p*p+p+1=0

D=1-8=-7, p₁=-1/4+(sqrt(7)/4)i , p₂=-1/4-(sqrt(7)/4)i

U_Cсв=Aexp(-at)sin(wt+m)

U_C(0+)=0+Asin(m)

dU_C/dt (0+)=-Aбsin(m)+Awcos(m)=J/C

Aw=J/C

A=J/(Cw)=20/(2*(sqrt(7)/4))=40/sqrt(7)=15

U_C(t)=10+15exp(-0.25t)sin((sqrt(7)/4)t)

(операторный метод)

U_C(p)=I(p)*1/pC-U_C(0-)/p

U_C(p)=(J/p)*(R+pL)/(R+pC+1/pC)*1/pC-U_C(0-)/p

U_C(0-)=JR=10

U_C(p)=J/p*((R+pL)/(RPC+p*pLC+1)/pC)*1/pC-10/p=

=(-20p+10)/p(2p*p+p+1)

lim(-20p+10)/(2p*p+p+1)=10 (i установ)

p-0

lim(-20p+10)/ (2p*p+p+1)=0 (i(0+))

p-бескон.

U_C(p)= (-20p+10)/p(2p*p+p+1)

M(p)=-20p+10

N(p)= p(2p*p+p+1), N^(p)=6p*p+2p+1

воспользуемся U(t)=M(0)/N^(0)+2Re[(M(p₁)/N(p₁))*exp(p₁t)] (1)

2p*p+p+1=0

p₁=-1/4+(sqrt(7)/4)j M(0)/N^(0)=10

p­₂=-1/4-(sqrt(7)/4)j

подставив p₁ в (1) получим:

U(t)=10+15exp(-0.25t)sin(sqrt(7)/4)t

U(t)=10+15exp(-0.25t)sin((sqrt(7)/4)t)

Задание 3.2

Дано: E1=140 B

E2=20 B

R1=R2=1000 Ом

C₁=1мкФ

С₂=2мкФ

Найти: i₁(t)

Построить графики U_C1(t) и U_C2(t)

Решение.

i₁(t)=i_1пр(t)+i_1св(t)

i_1пр(t)=(E₁-E₂)/(R₁+R₂)=0.06

p:

R1+((1/pC*R2)/(1/pC)+R2)=0

отсюда p=(-R1-R2)/R1R2C

p=-700

i₁(0+):

воспользуемся методом наложения:

i₁(t)=E₁/R₁

i₂(t)=U_C1(0-)/R₁=E₁/R₁

i₃(t)=U_C2(0-)*R₂/(R₂+R₁)

i₄(t)=E₂/R₁

i(0+)=i₁(t)+i₂(t)+i₃(t)+i₄(t)=10.3

i₁(0+)=i_1пр(0+)+i_1св(0+)

i₁(0+)=10.3

i_1пр(0+)=0.06

i_1св(0+)=A

отсюда : A=10.24

i₁(t)=0.06+10.24exp(-700t)

U_C1(t) и U_C2(t)

U_C=U_Cсв+U_Cпр

Ucпр=E1-E2=120

найдём p:

R1+((1/pC)*R2)/1/pC+R2=0 C=C₁+C₂

p=-700

U_C(0+)=U_Cсв(0+)+U_Cпр(0+)

U_Cсв(0+)=A

U_Cпр(0+)=120

A= U_C(0+)-120

S q(0-)=S q(0+)

q=CU_C

C₁U_C1(0-)+C₂U_C2(0-)=C₁U_C(0+)+C₂U_C(0+)

U_C1(0+)=U_C2(0+)=U_C(0+)

C=C₁+C₂

UC(0+)=( C₁U_C1(0-)+C₂U_C2(0-))/ (C₁+C₂)=60

A=60-120=-60

U_C1=U_C2=120-60exp(-700t)