Лабы / Лабы 3 / Texti / LABA_04

Лабораторная работа №4

Последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли.

1. Пусть в результате одного опыта может произойти событие А с
вероятностью 0.3 (соответственно "не А" с вероятностью 0.7). Смоделируйте такой эксперимент (m-файл - l41.m показать преподавателю) и убедитесь в том, что "не А" будет происходить чаще (достаточно понаблюдать частоту появления события А в большом числе независимых опытов, например, 100).

2. Рассмотрим эксперимент, состоящий из серии независимых опытов, например, десяти, в каждом из которых может произойти или событие А с вероятностью p=0.3 или "не А" с вероятностью q=1-p=0.7. Нас будет интересовать теперь - сколько раз в этих десяти опытах произошло событие А.
Смоделируем проведение пяти серий испытаний по 10 вышеописанных опытов в каждой с помощью следующего m-файла (l42.m) :

clear
for k=1:5
for i=1:10
a=10*rand;
if a>=3
s(i)=0;
else s(i)=1;
end
end
S(:,k)=s';
end
S
Здесь вектор s - вектор из нулей и единиц, причем единица - указывает на наступление события А в данном опыте (индикатор появления события А); матрица S - матрица появления событий А (в столбцах данные относящиеся к одной серии из десяти опытов, а в строках данные по определенному по порядку проведения опыту в разных сериях).Выполним несколько раз файл l42.m и изучим матрицу наблюдений S с помощью команд sum(S) и sum(S') (см. help sum). Дайте интерпретацию этих результатов в терминах: число появлений события А в ... и число появлений события А в ... . Будем, естественно, называть эти числа случайными величинами. Как Вы можете их охарактеризовать?

3. Увеличим в этом файле число серий испытаний до 1000 (прийдется подавить вывод матрицы S). Прежде проанализируем число появления события А в первом опыте по всем сериям, во втором и т.д. Это можно сделать командой sum(S'). Убедитесь в том, что эти случайные величины похоже равномерно распределены (по номеру опыта) и принимают значения около 300.
Так как вектор sum(S) теперь состоит из 1000 элементов, выводить его на экран неэффективно. Отметим, однако, что каждая его координата - случайная величина в диапазоне от 0 до 10 (число появления события А в десяти опытах). Поэтому зададимся вопросом в каком числе серий опытов событие А происходило 0, 1, 2,...10 раз. Это даст нам возможность найти частоты наступления событий = {в десяти независимых опытах событие А произошло ровно "к " раз} и, следовательно, оценить вероятности наступления этих событий.
Введем переменную aa=sum(S); (вывод на экран подавим). Просмотрите help hist. Введем вектор возможных значений случайной величины X=0:10; и построим гистограмму массива aa: hist(aa,X). Какие значения встречаются чаще всего? Чтобы получить число появления любого возможного значения случайной величины введем команду
[N,X]=hist(aa,X);
Результат удобно просмотреть в виде [X; N]'
Какое значение встречается чаще всего? Выпишите в тетрадь частоты для X=1:5.
Повторите эти эксперименты несколько раз, сформировав матрицу частот для искомой случайной величины.

4. Для случайной величины Z - число наступления события А в десяти опытах теоретически рассчитайте вероятности P({Z=k}) для k=0,1,...10.
Указание 1: в десяти независимых(!) опытах k раз происходит событие А и (10-k) не происходит (теорема умножения); кроме того это событие можно представить как сумму несовместных событий, число которых связано с расположением единички - индикатора наступления события А в последовательности из (10-k) нулей и k единиц (теорема сложения). В итоге получится формула P(10,k)= .......
Указание 2: Для облегчения вычислений получите рекуррентную формулу
P(10,k+1) через P(10,k).
Вычислите эти вероятности и сравните с частотами, полученными экспериментально (plot, hold). Продемонстрируйте результаты преподавателю.
Обобщите полученную формулу P(10,k) на n опытов (см. лекции).

Приложение:

к п.1:
for i=1:100
a=10*rand;
if a>=3
s(i)=0;
else s(i)=1;
end
end
sum(s)/100