4.2A). Решение модельной задачи

Пусть U(x,y)=y²*sin(x), тогда для этой задачи, граничные и начальные условия будут выглядеть следующим образом:

Решаем модельную задачу нашим алгоритмом (программа m1.m). Получаем

x

y

Рис.8. График модельной функции

U

x

y

Рис.9. График модельной функции

4.1б). Блочный метод Зейделя

Покажем, что наше решение сходится, для этого построим графики относительной ошибки между двумя итерациями, заметим из графика, что решение сходится волнами. По оси xколичество итерации, а по осиy– относительная ошибка.

При mu=1 (метод Зейделя)

Cпомощью программыopt.mнайдем оптимальное значение параметра.

	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1
	0.00057	0.00054	0.000527	0.000516	0.000508	0.000502	0.000497	0.000506	0.0286

	0.81	0.82	0.83	0.84	0.85	0.86	0.87	0.88	0.89
	5.02	5.016	5.014	5.004	5.003	4.995	4.996	4.989	4.984
	0.91	0.92	0.93	0.94	0.95	0.96	0.97	0.98	0.99
	4.974	4.983	4.993	5.001	5.008	5.013	5.036	5.039	5.04

	0.901	0.902	0.903	0.904	0.905	0.906	0.907	0.908	0.909	0.91
	5.039	4.979	4.983	4.979	4.976	4.980	4.977	4.981	4.977	4.974
	0.911	0.912	0.913	0.914	0.915	0.916	0.917	0.918	0.919	0.92
	4.978	4.9749	4.979	4.975	4.977	4.976	4.976	4.977	4.9745	4.983

Таблица 3. Результаты выполнения программы для модельной задачи opt.m

Нахождение оптимального значения параметра сходимости с помощью программы opt.m:

Рис.10. На интервале (0,1) с точностью  = 0.1. В результате мы получили, что оптимальное значение параметра сходимости находится на интервале (0.86,0.93).

Рис.12. На интервале (0,1) с точностью  = 0.01. В результате мы получили, что оптимальное значение параметра сходимости находится на интервале (0.6,1).

Таким образом, было получено оптимальное значение параметра сходимости. Это значение и используется при вычислениях в программеmod1.m. График найденной функции и её линии уровня представлены на рисунках 13, 14 .

Рис.13. Изображение найденной модельной функции с помощью программы mod1.m. на сетке с параметрами M =17, N = 6,  = 0.0001,  = 0.919.

Рис.14. Изображение линий уровня модельной функции с помощью программы mod1.m. на сетке с параметрами M =17, N = 6,  = 0.0001,  = 0.919.

Таблица 4. Результат вычислений программы mod1.m при значениях N=6 , M=17,

Теперь рассмотрим зависимость ошибки численного решения данной системы от числа разбиений сетки.

Размерность сетки	200x200	100х100	50х50	25х25
error

Таким образом, при увеличении разбиения сетки ошибка численного решения уменьшается.

22