2. Постановка задачи

Задание:получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической физики методом сеток.

(1)

(2)

Классификация задачи.

Данное уравнение относится к уравнениям эллиптического вида.

Физическая интерпретация задачи: стационарное двумерное распределение температуры в пластине конечной толщины, внутри пластины распределены по заданному закону источники (стоки) тепла, описываемые функцией , а на границах пластины поддерживается заданная температура.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

3.1. Уравнения математической физики

Разработка и исследование значительной части элементов современных СБИС и МОЭМС связана с решением так называемых задач математической физики, к которым относятся задачи теплопроводности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении жидкости, о распределении плотности электрического тока в проводящей среде, задачи о деформациях твердых тел и многие другие.

Подобные задачи описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с дополнительными уравнениями, выражающими граничные и начальные условия. В общем случае линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с nнезависимыми переменными имеет вид:

(2)

где X=[x1, x2, …, x_n] – вектор (матрица-строка) независимых переменных;u– искомая функция независимых переменных;,,,f(X)– некоторые вещественные функции независимых переменных.

Уравнение (2) всегда может быть приведено к одной из трех стандартных канонических форм. По соотношению значений уравнения относят к эллиптическим, параболическим и гиперболическим в точкеХ. В частности, для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменнымиx, y, которые могут быть представлены в виде:

(3)

тип ДУ определяется знаком выражения, называемого дискриминантом

(4)

Если D(x,y)<0, дифференциальное уравнение является эллиптическим в точке (x,y).

Если D(x,y)=0, дифференциальное уравнение является параболическим в точке (x,y).

Если D(x,y)>0, дифференциальное уравнение является гиперболическим в точке (x,y).

Если коэффициенты A_xx, A_xy, A_yy постоянные и значениеDне зависит отх,у, то в зависимости от знакаDуравнение является полностью эллиптическим, гиперболическим или параболическим.

3.2. Краевые задачи для уравнения пуассона

Исследование стационарных процессов различной физической природы часто приводит к необходимости решать уравнения эллиптического типа. Простейшим и наиболее распространённым уравнением этого типа является уравнение Пуассона:

(5)

Однородное уравнение Пуассона (при ) называется уравнением Лапласа. Такими уравнениями описываются явления электростатики или магнитостатики. В частности, потенциалэлектрического поля, образованного системой электродов и объёмным зарядом частиц с плотностью, удовлетворяет всюду внутри области, не занятой электродами, уравнению:

,(6)

при условии, что на границе области (на электродах) поддерживаются заданные значения потенциала:

,, (7)

где - граница областиG,- функция, определённая на всех точках границы.

Уравнения (6) и (7) называют первой краевой задачей для уравнения Пуассона.

Подобной же постановке удовлетворяет задача стационарного двумерного распределения температуры в пластине конечной толщины, если внутри пластины распределены по заданному закону источники (стоки) тепла, описываемые функцией , а на границах пластины поддерживается заданная температура.

Возможны и другие постановки краевых задач для уравнения Пуассона. Например:

,,

где - производная по нормали к граничной кривой в точкеграницы Г. Это есть вторая краевая задача, или задача Неймана.