Московский Государственный Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

Кафедра Высшей Математики – 1

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Численные методы»

на тему «Приближенное решение краевых задач математической физики методом сеток».

Вариант – 125

Выполнил: студент гр. МП-30

Вилкова К.В..

Проверил: преподаватель

Гончаров.

Москва

2004-2005 уч.г.г.

СОДЕРЖАНИЕ

1		Введение …………………………….……………………………………………………	3
2		Постановка задачи ……………………………………………………………………….	4
3		Теоретические сведения …………………………………………………………………	5
	3.1.	Уравнения математической физики …………………………………………………….	5
	3.2.	Краевые задачи для уравнения Пуассона ………………………………………………	6
	3.3.	Метод сеток ………………………………………………………………………………	7
	3.4.	Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов …………..	7
4		Реализация метода сеток на ЭВМ в среде MATLAB………………………………….	9
	4.1.	Решение данной задачи ………………………………………………………………….	9
	4.2.	Решение модельной задачи ……………………………………………………………..	15
5		Приложение ………………………………………………………………………………	21
6		Использованная литература …………………………………………………………….	29

1. Введение

ТЕМА: «Приближенное решение краевых задач математической физики методом сеток».

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучить основные понятия теории конечно-разностных методов решения краевых задач математической физики и уметь применять их на практике. Численное решение задачи осуществляется на персональной ЭВМ в среде MATLAB. Преимущество использования этой среды — богатый набор командных программ, реализующих большинство стандартных задач линейной алгебры и методов оптимизации, а также статистической обработки результатов. MATLAB обладает также хорошими графическими возможностями отображения результатов.

ПОРЯДОК РАБОТЫ:

1. Познакомиться с основными понятиями метода сеток и способами численного решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу.

2. Классифицировать уравнение, проверить корректность постановки задачи и дать её физическую интерпретацию.

3. При решении эллиптического уравнения написать разностную схему 2-го порядка аппроксимации и решить задачу итерационным методом Зейделя и верхней релаксации как поточечно, так и блочно, т.е. с использованием алгоритма прогонки. Исследовать влияние параметра релаксации на сходимость итерационного процесса при различной величине относительной точности решения задачи.

4. При решении эллиптического уравнения исследовать сходимость решения по сеткам: h,h/2, h/4илиh, h/4, h/16. Проанализировать скорость сходимости итерационного процесса в зависимости от вида граничного условия (1-го или 2-го рода).

5. Для своего типа уравнения обязательно решение модельной задачи, т.е. задачи, аналитический ответ которой известен.

6. Используя таблицы и графические возможности MATLABоформить результаты. Для уравнения Пуассона, например, необходимо привести 3-х мерный график полученного решенияU(x,y), двухмерный параметрический графикU(x) при различныхy. Аналогично дляU(y) при различныхx(не более 5-10 кривых). При необходимости построить график изолиний. Привести таблицу значений численного решенияU(x,y) (примерно 10х10 ячеек) и табличное исследование сходимости от шага сетки, а также параметра сходимости.

7. Оформить курсовую работу в соответствии с общим требованиями к курсовым работам.